Главная > Физика > Спиноры и пространство-время, Т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Дифференциальное условие Райнича

Предположим теперь, что в соответствии с этими допущениями задан тензор энергии-импульса удовлетворяющий условиям Райнича (5.3.1). Тогда в каждой точке интересующей нас области имеется гладкий тензор чисто электрического типа, которому соответствует тензор энергии-импульса Поставим вопрос: можно ли найти тензор поля при неком действительном , который удовлетворял бы уравнениям Максвелла и в силу этого представлял бы собой максвелловское поле, имеющее тензор энергии-импульса Если — симметричный спинор, соответствующий тензору причем то спинор будет соответствовать тензору Применяя уравнения Максвелла (5.1.57) к этому спинору, получаем

Сокращая экспоненциальный множитель, умножая на и используя (2.5.23), найдем далее

что после некоторого преобразования индексов дает

где — спинор, задаваемый этим равенством. Поскольку — действительная величина, — действительный вектор. Наша задача теперь сводится к отысканию тензорного эквивалента спинора и решению уравнения (5.3.12) относительно .

Прибегнем к явному построению. Продифференцировав обе части равенства (5.2.4), заменив в нем на выполнив однократную свертку и положив получим один член в правой части, имеющий вид

Продолжая построение далее, умножим (5.3.13) на (5.2.4) с вместо заменив индекс А на

где также использовано условие действительности Последнее слагаемое в формуле (5.3.14) можно исключить, сделав комплексное сопряжение, переобозначив индексы и вычтя

полученное равенство из (5.3.14); действуя таким путем, получаем

где при переходе ко второй строке использовано соотношение (3.3.46): дуализация дает разность двух членов, различающихся положением пар индексов и как в предыдущей строке. Используя соотношение

получающееся из (5.1.68) и (5.2.2), можно перейти к тензорному представлению (5.3.15) (с очевидной заменой индексов):

Дифференциальное условие для теперь получается путем подстановки выражения (5.3.16) в условие интегрируемости уравнения (5.3.12):

которое должно выполняться, поскольку — скаляр. Если это условие выполняется, то дуальный угол определяется уравнениями (5.3.12) и (5.3.16) с точностью до аддитивной постоянной.

Анализ следствий из уравнений Максвелла в областях, содержащих поверхности, на которых поле изотропно (или нулевое), и в неодносвязных областях выходит за рамки нашего изложения. Заметим, однако, что алгебраическая часть этой теории одинаково применима и к неизотропным, и к изотропным полям.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление