Главная > Интеллектуальные системы > Зрение роботов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.7. Множители сходимости и единичный импульс

Интеграл

не сходится. Причина в том, что колебания в подынтегральном выражении не затухают с увеличением и и Один из способов приписать осмысленное значение интегралу, несмотря на указанную трудность, состоит в умножении подынтегральной функции на множитель сходимости, который уменьшит ее значения для больших и (рис. 6.4). Множитель сходимости должен зависеть от параметра, причем

Рис. 6.4. Отсутствие сходимости у интеграла от синусоиды (сплошная линия). Однако если подынтегральное выражение умножить на гауссову функцию (штриховая линия), то мы получим функцию, которую можно проинтегрировать. Исходный интеграл можно рассматривать как предел интеграла с множителем сходимости, становящимся все более и более плоским.

таким образом, чтобы новый интеграл приближался к исходному при стремлении параметра к некоторому определенному пределу. Значение, приписываемое исходному интегралу, полагается равным пределу значений модифицированного интеграла при стремлении параметра к упомянутому пределу. Сформулированный метод станет ясен, если мы применим понятие множителя сходимости к интегралу, приведенному выше.

В этом случае удобным множителем сходимости является функция Г аусса

где — параметр, который будет изменяться. Заметим, что для любой конечной точки при Интеграл, который необходимо вычислить, имеет вид

Теперь

в то время как

поскольку — нечетная функция от . Поэтому весь интеграл равен

Он стремится к нулю при если только Однако при результат не стремится к конечному пределу при Следовательно, интеграл

должен быть пропорционален единичному импульсу Но чему равен коэффициент пропорциональности? Поскольку

мы можем определить этот коэффициент, если вычислим

Двойной интеграл можно представить в виде произведения двух простых интегралов и получить выражение

Произведение не зависит от и окончательно мы имеем

Этот результат мы уже использовали во время обсуждения преобрази вания Фурье.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление