Главная > Интеллектуальные системы > Зрение роботов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.5. Преобразование Фурье для операции свертки

Пусть тогда преобразование Фурье функции имеет вид

или

Таким образом,

Операция свертки в пространственной области становится операцией умножения в частотной области. В этом заключается основной довод в пользу введения сложного аппарата пространственных частот. Коммутативность и ассоциативность свертки непосредственно вытекают из соответствующих свойств умножения.

Используя почти симметрию между прямым и обратным преобразованиями, нетрудно показать, что Фурье-преобразование произведения двух функций имеет вид . Вывод этого выражения аналогичен используемому выше.

Далее, рассмотрим свертку в точке

Применяя обратное преобразование к функции , мы также получаем

Поскольку то

Если повторить предыдущие рассуждения для функции Вместо этого получим

поскольку преобразование Фурье функции есть т. е. комплексно-сопряженная функция к Считая функцию действительной, в частности, видим, что

Здесь Этот результат, устанавливающий равенство энергий в пространственной и частотной областях, известен как теорема Рэлея. Ее дискретный аналог — теорема Парсеваля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление