Главная > Интеллектуальные системы > Зрение роботов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

П.4. Метод наименьших квадратов для решения линейных уравнений

Пусть где М — матрица размером а — вектор с компонентами, вектор с компонентами. Допустим, в нашем распоряжении имеется измерений и мы хотим вычислить матрицу М. Образуем матрицы А и В, объединяя соответственно наборы векторов (То есть столбец матрицы А есть Тогда . В данном

случае матрица В квадратная. Если она имеет обратную матрицу, то Допустим, что мы имеем большее число измерений. Тогда задача переопределена, так как число уравнений превышает число неизвестных. Определим -мерный вектор рассогласования Объединяя к таких векторов, получаем . Сумма квадратов рассогласований составляет

или

или

Таким образом,

Если это выражение приравнять нулю, то будем иметь т. е. (Выражение ) называется псевдообратной матрицей к прямоугольной матрице В.

С другой стороны, когда число уравнений меньше числа неизвестных, задача не определена. Тогда имеется бесконечное множество решений. В этом случае псевдообратная матрица дает решение с минимальной нормой, однако вычислять ее нужно по-другому. Матрицу, псевдообратную к В, можно определить в виде предела

Иной способ определения основывается на условиях Пенроуза [4], которые утверждают, что матрица является псевдообратной к матрице В тогда и только тогда, когда

Псевдообратную матрицу можно также получить с помощью спектрального разложения. Ее собственные векторы совпадают с собственными векторами исходной матрицы, в то время как ненулевые собственные значения равны обратным собственным значениям исходной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление