ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ДИСКОВ

При определении напряжений и деформаций во вращающемся, неравномерно нагретом диске используют

Рис. 59. (см. скан) Условия равновесия элемента диска

уравнения равновесия, упругости и совместности.

Уравнение равновесия представляет собой условие равновесия элемента диска в поле центробежных сил (рис. 59).

Оно может быть записано в виде

где — радиальное и окружное напряжения; — плотность материала диска; — угловая скорость вращения; — толщина диска.

Если радиальное перемещение точек диска на радиусе то деформации в радиальном и окружном направлениях будут

Деформации и напряжения связаны уравнениями упругости

где — модуль упругости и коэффициент Пуассона; а — коэффициент линейного расширения; Т — температура на данном радиусе диска,

Из уравнений (178) и (179) с учетом зависимости (176) и (177) вытекают соотношения

Если внесем последние соотношения в уравнение (175), то получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно . Решение этого уравнения вместе с граничными условиями позволяет определить напряжения и деформации в диске.

Одиако точное решение указанного уравнения возможно только в некоторых частных случаях (диск постоянной толщины, диск гиперболического профиля и др.), и потому для практических расчетов разработано большое число приближенных методов (свыше 40). Два таких метода приведены ниже.

Если за основные неизвестные принимают напряжения, то при решении задачи учитывают уравнение совместности деформаций. Это уравнение основано на соотношении

или

С учетом равенств (178) и (179) получим уравнение совместности в напряжениях

Выполнение этого условия означает, что полученная в решении величина радиального перемещения и будет функцией непрерывной, что соответствует физическому смыслу задачи.

При решении задачи в «напряжениях» исходят из системы двух дифференциальных уравнений первого порядка (175) и (183) относительно двух неизвестных функций Преимущество такого способа состоит в более простых граничных условиях, которые задаются обычно «в напряжениях».