16.2.3. ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÃÈÏÎÒÅÇ È ÄÎÂÅÐÈÒÅËÜÍÛÅ ÎÁËÀÑÒÈ ÄËß ÂÅÊÒÎÐÀ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÆÈÄÀÍÈÉ
Ìåòîäû, ïðèìåíÿåìûå ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ èëè ïðîâåðêå ãèïîòåç (íàïðèìåð,
äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
â ñëó÷àå îäíîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé
[ñì. ïðèìåðû 4.2.1 è 4.5.2], îñíîâàíû íà èñïîëüçîâàíèè ïðîöåíòíûõ òî÷åê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ãäå
Êîãäà çíà÷åíèå à íåèçâåñòíî, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîöåäóðû ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû äëÿ ñòàòèñòèêè
ãäå
— îáû÷íàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ
Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è êâàäðàòàìè âåëè÷èí
è
÷òî ïðèâîäèò ê âåëè÷èíå, èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ 1 ñòåïåíüþ ñâîáîäû, â ñëó÷àå
è ê âåëè÷èíå, èìåþùåé
-ðàñïðåäåëåíèå ñ 1 è
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, â ñëó÷àå
Òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè îäíîìåðíîì ïîäõîäå â ïðîöåññå ïîëó÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòèñòèê â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå, î÷åâèäíû. Îíè ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ýòà ïðîöåäóðà îñíîâàíà íå íà èñïîëüçîâàíèè èçâåñòíîãî âûáîðî÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè
êîòîðûì áóäåò
à íà èñïîëüçîâàíèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, îáîáùàþùåé êâàäðàòû ñòàòèñòèê
è
Âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
(ñêàëÿðíîé âåëè÷èíû) åñòü ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû
êîãäà V èçâåñòíà (ýòî àíàëîã îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì è èçâåñòíîé äèñïåðñèåé), êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè ñ [ñì. ðàçäåë 5.12] åñòü ìíîæåñòâî âåêòîðîâ õ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
ãäå
åñòü (1—à) õ 100%-íàÿ òî÷êà ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò ñ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Äîâåðèòåëüíóþ îáëàñòü äëÿ
â
-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïîëó÷èòü, îáðàùàÿ â íåðàâåíñòâî
Ýòà îáëàñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñîèä ñ öåíòðîì â X.
Äëÿ äâóìåðíîé âûáîðêè â ïðèìåðå 16.2.1 íåðàâåíñòâî (16.2.6) ïðèìåò âèä
Ýòî ýëëèïñ â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàò
ñ öåíòðîì â
Êîãäà ìàòðèöà V íåèçâåñòíà, îáîáùåíèå îäíîìåðíîé ñòàòèñòèêè êâàäðàòà
èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà, ïðèâîäèò ê ñòàòèñòèêå Ò Õîòòåëèíãà:
ãäå Ñ — âûáîðî÷íàÿ ìàòðèöà êîâàðèàöèé (16.1.9). Ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû
êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè à åñòü ìíîæåñòâî âåêòîðîâ õ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ãäå
è
åñòü
-íàÿ òî÷êà F-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû [ñì. ðàçäåë 2.5.6].
Äîâåðèòåëüíàÿ îáëàñòü äëÿ
â
-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ïðîöåíòíûõ òî÷åê
-ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìû ñíîâà ïîëó÷àåì ýëëèïñîèä.