15.4. БАЙЕСОВСКИЕ ПОДХОДЫ К ТИПИЧНЫМ СТАТИСТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ

15.4.1. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Одной из задач, которые обычно ставятся в статистике, является задача получения оценки [см. раздел 3.1] неизвестного параметра на основании наблюдаемых данных.

Как следует из раздела 15.3, если задана модель, включающая неизвестный параметр и заданы данные х, то статистик, прибегающий к байесовским методам, может рассчитать апостериорную плотность соответствующую любой конкретной спецификации априорной плотности для параметра Иначе говоря, если заданы х и определены правдоподобие и априорная плотность, то описание вида аналитически (т. е. с помощью математической функции) или графически позволяет создать «законченную картину» тех

представлений, которые теперь имеются относительно неизвестного параметра в. Если нас попросят дать единственную (точечную) оценку 0, то для статистика «байесовского толка» задача принимает вид: «Чему равняется единственное число, в котором наилучшим образом суммируются представления, отображенные с помощью

Конечно, выражение «наилучший итог» в такой постановке пока не определено: нужно сначала выяснить, по отношению к какому критерию он наилучший. Но как только мы начинаем задавать подобные вопросы, сразу же приходим к идее: для того чтобы судить о степени чувствительности метода к выбору оценки, необходимо что-нибудь знать об исследуемой проблеме, возникающей на практике, и о действительных последствиях расхождений, которые могут возникнуть между «оценкой» и «действительными значениями». Если рассматривать статистическое оценивание в таком свете, то это особый вид «решения», потенциальные последствия принятия которого необходимо выразить количественно прежде, чем принять «оптимальное решение» (или, в данном случае, получить «наилучшую оценку»).

Теоретический подход к оцениванию как к процессу принятия решения подробно изложен в разделе 19.2.1. Здесь же рассматриваются только три из возможных результирующих характеристик апостериорной плотности, которые могли бы представлять интерес согласно интуитивным предположениям (эти вопросы будут далее обсуждаться в разделе 19.2.1).

а) Мода. Мода в апостериорной плотности определяется как

[см. II, 10.1.3], и обычно функция плотности имеет единственную моду. Оценка есть наиболее вероятное значение в и, как указывалось в разделе 15.3.5, равняется (приближенно) оценке максимального правдоподобия в тех случаях, когда задано, что априорная плотность (приближенно) постоянная.

б) Медиана. Медиана в апостериорной плотности определяется как

и обычно единственна. Это такая точка, относительно которой предполагается, что с равной вероятностью истинное значение может лежать как выше, так и ниже этого значения.

в) Среднее. Среднее в апостериорной плотности определяется как

и обладает свойством единственности.

Рис. 15.4.1. Иллюстрация понятия правдоподобного интервала

В разделе 15.5 приводятся примеры точечных оценок, в иллюстративных целях в основном используется апостериорное среднее. Однако еще раз необходимо подчеркнуть, что можно найти разумные доводы в пользу любого из этих видов оценок, а также в пользу любого другого вида [см. раздел 19.2.1]. Поэтому в каждой конкретной задаче действительный выбор должен зависеть от соответствующих соображений, основанных на теории принятия решений.