15.3.2. ФОРМИРОВАНИЕ АПРИОРНЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Выше было установлено, что определение априорной плотности зависит от индивидуального опыта суждений. Это приводит к постановке весьма реалистичной проблемы: как превратить такие опыт и

Рис. 15.3.2. Плотность как функция, сглаживающая данные о предыстории

суждения в конкретный вид функции плотности вероятностей Эта проблема подверглась исчерпывающему изучению как статистиками, так и психологами, опубликовано множество теоретических и экспериментальных работ, в которых сообщалось о результатах таких исследований. В статье Хэмптона, Мура и Томаса [см. Hampton, Moore and Thomas (1973)] в удобной форме описаны эти результаты и содержится большой список литературы.

Среди многих возможных подходов следующие два подхода имеют наибольшее значение.

1. Сглаживание данных о предыстории. Предположим, что производитель не уверен относительно доли 0 дефектных единиц при новом производственном процессе. Однако он располагает гистограммой [см. раздел 3.2.2], показывающей относительные частоты, с которыми доля дефектных единиц попадала в различные интервалы, когда внедрялось несколько очень похожих производственных процессов. Подобная гистограмма изображена на рис. 15.3.2 вместе со сглаживающей кривой, нормированной так, чтобы полностью содержать область 1. Эта кривая могла бы служить вполне разумным отображением априорного представления производителя о виде плотности вероятности

Методика очень проста: мы стремимся получить сглаженную плотность, которая отражает вид наблюдавшегося раньше распределения частот. Однако даже в этом случае нельзя избавиться от субъективной, зависящей от характера суждений природы определения ее вида, так как мы должны оценить соответствие и однородность данных о предыстории по отношению к текущей проблеме.

2. Подбор кривой на основании суждений. При отсутствии достаточного объема подходящих данных о предыстории, которые позволяют использовать подход (1), мы вынуждены пытаться выявить наши представления с помощью процесса опрашивания самих себя.

Рассмотрим пример с производителем, внедряющим совершенно новый тип производственного процесса. У него нет ощущения, что прошлые данные, касающиеся долей дефектных единиц при процессах других типов, непосредственно подходят к новому процессу.

Чтобы непосредственно выявить его представления относительно доли дефектных единиц при новом процессе, можно использовать процедуру следующего типа:

а) производителя просят задать верхний и нижний пределы, между которыми, по его мнению, находится значение в. На практике можно было бы попросить его задать такие значения, для которых, как он считает, существует только один шанс из ста, что может быть превзойден хотя бы один из этих пределов. Определенные таким образом значения позволят затем задать приближенно 1%-ную и 99%-ную квантили его распределения [см. раздел 5.2.2 (обратные таблицы)];

б) после этого надо попросить производителя задать значение медианы (или 50%-ную квантиль) [см. раздел 14.2] его распределения. Другими словами, надо спросить, чему равно значение в, которое у него вызывает одинаковое ощущение риска, что доли дефектных изделий окажутся либо больше, либо меньше этого числа;

в) получив значение медианы, которая делит его распределение пополам, производителя просят затем разделить распределение на четверти, задавая таким образом 25%-ную и 75%-ную квантили. Например, чтобы проделать это для 75%-ной квантили, попросим производителя сконцентрировать внимание на тех значениях в, которые лежат между медианой и верхней границей, а затем выбрать такое значение из этого диапазона, чтобы по его оценке вероятности в, лежащих выше или ниже этого значения, оказались приблизительно равными.

В конце опроса у нас будет пять точек, принадлежащих функции распределения (ф.р.) в зависимости от в, а именно 1%-, 5%-, 25%-, 50%-, 75%- и 95%-ные квантили. Чтобы получить разумную аппроксимацию субъективной функции распределения производителя, по ним можно построить сглаженную кривую.

На рис. 15.3.3 показана такая функция, соответствующая следующим (гипотетическим) выявленным точкам:

Соответствующая гистограмма для подынтервалов 0,05-0,1, 0,1-0,15 и т. д. показана на рис. 15.3.4 вместе со сглаженной аппроксимацией функции плотности распределения вероятности (п.р.в.).

Рис. 15.3.3. (см. скан) Гипотетическая субъективная ф.р.

Рис. 15.3.4. (см. скан) Гистограмма и сглаженная п.р.в., соответствующая ф.р., изображенной на рис. 15.3.3.

Мы рассмотрели процедуру формирования априорного распределения для одного параметра. Если априорное определение распределений отдельных параметров может проводиться независимо, то определение совместного распределения для двух и более параметров проводится непосредственно (так как в этом случае процедура

сводится к последовательности формирований одномерных распределений). Но если между параметрами существуют сложные зависимости, то могут возникать значительные трудности. В разделе 15.6 рассмотрен один из аспектов этой проблемы.