Ãëàâíàÿ > Ìàòåìàòèêà > Ñïðàâî÷íèê ïî ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêå. Òîì 2
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

19.2. ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ È ÒÅÎÐÈß ÏÐÈÍßÒÈß ÐÅØÅÍÈÉ

19.2.1. ÎÖÅÍÈÂÀÍÈÅ

Êàê ìû óêàçûâàëè â ðàçäåëå 19.1.1, çàäà÷ó îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùåé çàäà÷è ñòàòèñòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, êîãäà (ò. å. òðåáóåìîå äåéñòâèå ñîñòîèò â âûáîðå ýëåìåíòà ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà). Áîëåå òîãî, åñëè îãðàíè÷èòüñÿ áàéåñîâñêèìè ðåøàþùèìè ôóíêöèÿìè, òî òåîðåìà 19.1.6 èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî òàêàÿ ôóíêöèÿ 8 çàäàåòñÿ âûáîðîì äåéñòâèÿ ìèíèìèçèðóþùåãî àïîñòåðèîðíûé îæèäàåìûé ðèñê

Ñëåäóþùèå òåîðåìû îïèñûâàþò îáùèå ôîðìû áàéåñîâñêèõ îöåíîê ïðè ðàçëè÷íûõ ñòàíäàðòíûõ ôóíêöèÿõ ïîòåðü

Òåîðåìà 19.2.1. Åñëè èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîòåðü òî áàéåñîâñêàÿ îöåíêà çàäàåòñÿ ñðåäíèì çíà÷åíèåì àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû õîòèì âûáðàòü òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü

Äèôôåðåíöèðóÿ ïî à è ïðèðàâíèâàÿ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì

ïîñêîëüêó

Òåîðåìà 19.2.2. Ïðè èñïîëüçîâàíèè òàê íàçûâàåìîé àáñîëþòíîé ôóíêöèè ïîòåðü áàéåñîâñêàÿ îöåíêà çàäàåòñÿ ìåäèàíîé àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. (Äëÿ ñëó÷àÿ ). Íàì íóæíî âûáðàòü à òàê, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü àïîñòåðèîðíûå îæèäàåìûå ïîòåðè

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî à, ó÷èòûâàÿ, ÷òî

Ïðèðàâíÿâ ïðîèçâîäíóþ íóëþ, ïîëó÷èì

(òàê êàê ñóììà ýòèõ èíòåãðàëîâ ðàâíà 1). Ïî îïðåäåëåíèþ [ñì. II, ðàçäåë 10.3.3] ýòî îçíà÷àåò, ÷òî à — ìåäèàíà àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Òåîðåìà 19.2.3. Åñëè ïðè (òàê íàçûâàåìûå «ïîòåðè íîëü-îäèí»), òî áàéåñîâñêîå ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ìîäîé àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî (òîëüêî äëÿ äèñêðåòíîãî ïðîñòðàíñòâà 0). Ìû èñïîëüçóåì ôóíêöèþ ïîòåðü âèäà

è õîòèì ìèíèìèçèðîâàòü ðèñê

Åñëè ïîëîæòü , òî àïîñòåðèîðíûå îæèäàåìûå ïîòåðè îêàæóòñÿ ðàâíûìè:

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, êîãäà âûáðàíî òàê, ÷òîáû ìàêñèìèçèðîâàòü Íî òàêîå çíà÷åíèå â è íàçûâàåòñÿ ìîäîé (ò. å. íàèáîëåå âåðîÿòíûì çíà÷åíèåì) àïîñòåðèîðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Íåñêîëüêî ÷àñòíûõ ïðèìåðîâ áàéåñîâñêèõ îöåíîê ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü áûëè ïðèâåäåíû â ãë. 15.

Âîîáùå ãîâîðÿ, èçó÷åíèå ìèíèìàêñíûõ îöåíîê íå òàê ïðîñòî; äëÿ îïåðàöèè òèïà íåò î÷åâèäíûõ àíàëîãîâ ïðîöåäóð èíòåãðèðîâàíèÿ (ñóììèðîâàíèÿ) è äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, êîòîðûìè ìû ïîëüçîâàëèñü ïðè ïîèñêå áàéåñîâñêèõ ðåøåíèé. Òåì íå ìåíåå òåîðåìà 19.1.5 ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíîé îñíîâîé äëÿ îòûñêàíèÿ ìèíèìàêñíûõ ðåøåíèé.

Ïðèìåð 19.2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî — íàáëþäàåìîå ÷èñëî óñïåõîâ â íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ, â êàæäîì èç êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü óñïåõà ðàâíà â. Íàéäåì ìèíèìàêñíóþ îöåíêó âåðîÿòíîñòè ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü.

Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî ïî òåîðåìå 19.1.5 ñòîèò ñíà÷àëà íàéòè äîïóñòèìóþ ïðîöåäóðó îöåíèâàíèÿ ñ ïîñòîÿííûì ðèñêîì. Íàïîìíèì

åùå, ÷òî ïî òåîðåìå 19.1.1 åäèíñòâåííàÿ áàéåñîâñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ âñåãäà äîïóñòèìà. Ïîýòîìó ìû ïîïûòàåìñÿ íàéòè âèä áàéåñîâñêîé îöåíêè â ñëó÷àå, êîãäà îíà åäèíñòâåííàÿ, à çàòåì ïîñìîòðåòü, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ýòà îöåíêà ïðèâîäèò ê ïîñòîÿííîìó ðèñêó. Åñëè íàì ýòî óäàñòñÿ, ìû íàéäåì ìèíèìàêñíóþ ïðîöåäóðó îöåíèâàíèÿ.

×òîáû ñïðàâèòüñÿ ñ ïåðâîé çàäà÷åé, âñïîìíèì, ÷òî åñëè àïðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðàìåòðà èìååò âèä áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè òàê ÷òî

òî è àïîñòåðèîðíîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò òîò æå âèä, íî âìåñòî à íóæíî âçÿòü , à âìåñòî . À òàê êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíî è ýòî — åäèíñòâåííàÿ áàéåñîâñêàÿ îöåíêà ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ïîòåðü, òî åäèíñòâåííîé áàéåñîâñêîé ðåøàþùåé ôóíêöèåé, ñîîòâåòñòâóþùåé àïðèîðíûì ïàðàìåòðàì áóäåò

Âûïèøåì òåïåðü ôóíêöèþ ðèñêà è âûÿñíèì, ïðè êàêîì âûáîðå îíà îêàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé (ïî ). Ïî îïðåäåëåíèþ

ïîñêîëüêó ÷ëåí ïðîïàäàåò. Äàëåå, òàê êàê òî ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

Ïðè ðèñê îêàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùèì îò , òàê êàê êîýôôèöèåíòû ïðè è ðàâíû íóëþ. Ïîýòîìó ìèíèìàêñíîé îöåíêîé âåðîÿòíîñòè áóäåò

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå