18.6.4. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ ÍÀ ÊÎÍÅ×ÍÛÕ ÂÛÁÎÐÊÀÕ
Äëÿ êîíå÷íîé âûáîðêè
âîîáùå ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ
ïî ôîðìóëå (18.6.4). Íàïðèìåð, äëÿ ôèëüòðà (18.6.23) ìîæíî òî÷íî âû÷èñëèòü ëèøü
Ïðèáëèæåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé
ìîæíî âû÷èñëèòü, ëèáî ïðåäïîëîæèâ, ÷òî íåèçâåñòíûå çíà÷åíèÿ
(êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ âû÷èñëåíèé) ðàâíû íóëþ, ëèáî òåì èëè èíûì ñïîñîáîì ýêñòðàïîëèðîâàâ ýòè çíà÷åíèÿ.
Âîîáùå âåëè÷èíà ïîäîáíûõ íåñòàöèîíàðíûõ îøèáîê, èëè êðàåâûõ ýôôåêòîâ, áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, êàê áûñòðî óáûâàþò âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ôèëüòðà. Äëÿ âûáîðîê èõ,
èç ðÿäîâ, ñâÿçàííûõ ïðè âñåõ
ñîîòíîøåíèåì (18.6.4), èõ âûáîðî÷íûå àâòîêîâàðèàöèè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé àíàëîãè÷íî (18.6.22), ò. å.
à èõ âûáîðî÷íûå ñïåêòðû — àíàëîãè÷íî (18.6.25), ò. å.
Ïðèáëèæåíèÿ, âîçíèêàþùèå èç-çà êðàåâûõ ýôôåêòîâ, èìåþò ïîðÿäîê
åñëè òîëüêî ôèëüòð êîíå÷åí èëè óáûâàåò äîñòàòî÷íî áûñòðî (íàïðèìåð, ãåîìåòðè÷åñêè).
Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäíèé ðåçóëüòàò ê
ïîëó÷àåì
èëè
Òàêèì îáðàçîì,
ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàòü ñâîéñòâà âûáîðî÷íîãî ñïåêòðà ðÿäà
ñ àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè äëÿ
Óñòàíîâëåííûå â ðàçäåëå 18.3.5 ñâîéñòâà ïåðèîäîãðàììû îçíà÷àþò, ÷òî äëÿ ãàðìîíè÷åñêèõ ÷àñòîò
ïðàâàÿ ÷àñòü
Ðèñ. 18.6.1 Ñõîäñòâî êàðòèíû êîëåáàíèé âûáîðî÷íîãî ñïåêòðà ïî îòíîøåíèþ ê òåîðåòè÷åñêîìó äëÿ èñõîäíîãî è ïðîôèëüòðîâàííîãî ðÿäîâ: à) âûáîðî÷íûé ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ðÿäà
è åãî òåîðåòè÷åñêèé ñïåêòð
; á) âûáîðî÷íûé ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ðÿäà
ïîëó÷åííîãî èç ðÿäà à, ñ ïîìîùüþ ôèëüòðà (18.6.36), è åãî òåîðåòè÷åñêèé ñïåêòð
(18.6.35), à ñëåäîâàòåëüíî, è ëåâàÿ ÷àñòü îáðàçóþò ñëó÷àéíóþ âûáîðêó èç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 18.5.1. Áîëåå òîãî, ðàñïðåäåëåíèå ðÿäà
íå îáÿçàíî áûòü íîðìàëüíûì. Òàê êàê ðÿä
ñîñòîèò èç íåçàâèñèìûõ çíà÷åíèé, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé [ñì. II, ðàçäåë 17.3] è îñëàáèòü ýòî óñëîâèå.
Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ
ïîêàçàí âûáîðî÷íûé ñïåêòð äëÿ ðÿäà
âìåñòå ñ åãî òåîðåòè÷åñêèì ñïåêòðîì
. Íà ðèñ. 18.6.1,á) ïîêàçàí âûáîðî÷íûé ñïåêòð ðÿäà
ïîñòðîåííîãî ïî ôîðìóëå
âìåñòå ñ òåîðåòè÷åñêèì ñïåêòðîì
Îáå âûáîðêè èìåþò äëèíó
Îáðàùàåò íà ñåáÿ âíèìàíèå ïî÷òè èäåíòè÷íàÿ êàðòèíà êîëåáàíèé âûáîðî÷íîãî ñïåêòðà îòíîñèòåëüíî òåîðåòè÷åñêîãî. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
ïðè
ò. å. êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ ôèëüòðà (18.6.36) íà ýòîé ÷àñòîòå ðàâåí íóëþ.