18.6.4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА КОНЕЧНЫХ ВЫБОРКАХ

Для конечной выборки вообще говоря, невозможно вычислить значения по формуле (18.6.4). Например, для фильтра (18.6.23) можно точно вычислить лишь Приближения для значений можно вычислить, либо предположив, что неизвестные значения (которые необходимы для вычислений) равны нулю, либо тем или иным способом экстраполировав эти значения.

Вообще величина подобных нестационарных ошибок, или краевых эффектов, будет зависеть от того, как быстро убывают весовые коэффициенты фильтра. Для выборок их, из рядов, связанных при всех соотношением (18.6.4), их выборочные автоковариации связаны между собой аналогично (18.6.22), т. е.

а их выборочные спектры — аналогично (18.6.25), т. е.

Приближения, возникающие из-за краевых эффектов, имеют порядок если только фильтр конечен или убывает достаточно быстро (например, геометрически).

Применяя последний результат к получаем

или

Таким образом, позволяет непосредственно связать свойства выборочного спектра ряда с аналогичными свойствами для Установленные в разделе 18.3.5 свойства периодограммы означают, что для гармонических частот правая часть

Рис. 18.6.1 Сходство картины колебаний выборочного спектра по отношению к теоретическому для исходного и профильтрованного рядов: а) выборочный спектр случайного ряда и его теоретический спектр ; б) выборочный спектр случайного ряда полученного из ряда а, с помощью фильтра (18.6.36), и его теоретический спектр

(18.6.35), а следовательно, и левая часть образуют случайную выборку из экспоненциального распределения. Отсюда, в частности, следует утверждение теоремы 18.5.1. Более того, распределение ряда не обязано быть нормальным. Так как ряд состоит из независимых значений, можно воспользоваться центральной предельной теоремой [см. II, раздел 17.3] и ослабить это условие.

Для примера на рис показан выборочный спектр для ряда вместе с его теоретическим спектром . На рис. 18.6.1,б) показан выборочный спектр ряда построенного по формуле

вместе с теоретическим спектром

Обе выборки имеют длину Обращает на себя внимание почти идентичная картина колебаний выборочного спектра относительно теоретического. Заметим также, что при т. е. коэффициент усиления фильтра (18.6.36) на этой частоте равен нулю.