16.6. ÄÈÑÊÐÈÌÈÍÀÍÒÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ
16.6.1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Öåëü äèñêðèìèíàíòíîãî àíàëèçà — ïîëó÷åíèå ïðàâèë äëÿ êëàññèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ íàáëþäåíèé â îäíó èç íåñêîëüêèõ êàòåãîðèé èëè ñîâîêóïíîñòåé.  ìåäèöèíå, íàïðèìåð, ýòî ìîæåò ïîìî÷ü ïðè äèàãíîñòèêå èëè ïðîãíîçå çàáîëåâàíèé.  ýòîì ñëó÷àå íàáëþäàþòñÿ ïàöèåíòû, è êàæäîìó èç íèõ ïðèïèñûâàþò íåñêîëüêî õàðàêòåðèñòèê, îïðåäåëÿþùèõ åãî ñîñòîÿíèå.  ðàáîòå [Titterington et al. (1981)] ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïðèëîæåíèÿ äèñêðèìèíàíòíîãî àíàëèçà äëÿ ïðîãíîçà ïàöèåíòîâ ñ òðàâìàìè ãîëîâû. Ñóùåñòâóåò è ìíîãî äðóãèõ ïðèëîæåíèé äèñêðèìèíàíòíîãî àíàëèçà, îïèñàííûõ â ëèòåðàòóðå [ñì., íàïðèìåð, Press (1972), áèáëèîãðàôèÿ].
Ïðè äèñêðèìèíàíòíîì àíàëèçå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî ñîâîêóïíîñòåé, èëè êàòåãîðèé, èçâåñòíî çàðàíåå. Çàäà÷åé æå êëàñòåð-àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ èäåíòèôèêàöèÿ êëàñòåðîâ,
èëè êàòåãîðèé, èç äàííûõ.
16.6.2. ÄÈÑÊÐÈÌÈÍÀÖÈß Â ÄÂÅ ÈÇÂÅÑÒÍÛÅ ÑÎÂÎÊÓÏÍÎÑÒÈ
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó êëàññèôèêàöèè îäíîãî ìíîãîìåðíîãî íàáëþäåíèÿ
â îäíó èç äâóõ ñîâîêóïíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû
-ìåðíûå ïëîòíîñòè
(ò. å. èçâåñòíû êàê ôîðìà ïëîòíîñòè, òàê è åå ïàðàìåòðû). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
— àïðèîðíûå âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ íàáëþäåíèÿ
èç ñîâîêóïíîñòåé 1 è 2. Òîãäà ïî òåîðåìå Áàéåñà àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàáëþäåíèå õ ïðèíàäëåæèò ñîâîêóïíîñòè 1, åñòü [ñì. ãë. 15]
à àïîñòåðèîðíàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ x ïðèíàäëåæàòü ñîâîêóïíîñòè 2 åñòü
Êëàññèôèêàöèÿ íàáëþäåíèÿ ìîæåò áûòü òåïåðü îñóùåñòâëåíà ñ ïîìîùüþ îòíîøåíèÿ, îñíîâàííîãî íà àïîñòåðèîðíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ íàáëþäåíèÿ ïðèíàäëåæàòü ñîâîêóïíîñòè 1:
Ïðè òàêîé ïðîöåäóðå ìîæíî áûëî áû îòíåñòè îáúåêò ê ñîâîêóïíîñòè 1, åñëè ýòî îòíîøåíèå áîëüøå 1, ò. å.
è ê ñîâîêóïíîñòè 2, åñëè îòíîøåíèå ìåíüøå 1.  ðàáîòå [Anderson (1958), ñ. 130—131] ïîêàçàíî, ÷òî ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà ìèíèìèçèðóåò âåðîÿòíîñòü îøèáî÷íîé êëàññèôèêàöèè.
Åñëè ââåñòè ôóíêöèþ øòðàôà (ïîòåðü) [ñì. ãë. 19] è îáîçíà÷èòü ÷åðåç
öåíû îøèáî÷íîé êëàññèôèêàöèè íàáëþäåíèÿ èç ñîâîêóïíîñòè 1 â ñîâîêóïíîñòü 2 è íàîáîðîò, òî ìîæíî ïîêàçàòü [ñì. Anderson (1958), ñ. 130—131], ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå çíà÷åíèÿ àïîñòåðèîðíîé ôóíêöèè ïîòåðü, îáóñëîâëåííîå îøèáî÷íîé êëàññèôèêàöèåé, ìèíèìèçèðóåòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ìîäèôèêàöèþ ïðàâèëà (16.6.1): îòíîñèòü íàáëþäåíèå ê ñîâîêóïíîñòè 1, åñëè
è ê ñîâîêóïíîñòè 2 — â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Äëÿ îáåèõ ñèòóàöèé ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
åñëè
òî íàáëþäåíèå ñëåäóåò îòíåñòè ê êëàññó 1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ê êëàññó 2. Êîíñòàíòà ê çàâèñèò îò àïðèîðíûõ âåðîÿòíîñòåé è öåíû îøèáî÷íîé êëàññèôèêàöèè. Êîãäà àïðèîðíûå ñðåäíèå ïîòåðè óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó
êîíñòàíòà