Ãëàâíàÿ > Ìàòåìàòèêà > Ñïðàâî÷íèê ïî ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêå. Òîì 1
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

4.6. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÄÎÂÅÐÈÒÅËÜÍÛÕ ÈÍÒÅÐÂÀËÎÂ ÁÅÇ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈß ÎÏÎÐÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ

 ðàçäåëå 4.3 áûëî ïîêàçàíî, êàê ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë â ñëó÷àå îäíîãî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ñ ïîìîùüþ îïîðíîé ïåðåìåííîé. Òàêóþ ïåðåìåííóþ âñåãäà ìîæíî íàéòè, åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé íåïðåðûâíà ïî õ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîãî íàáëþäåíèÿ âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà îòðåçêå [ñì. II, ðàçäåë

10.2.1] ïî òåîðåìå î ïðåîáðàçîâàíèè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà âåðîÿòíîñòåé [ñì. II, òåîðåìà 10.7.2]. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò âåëè÷èí áóäåò îïîðíîé ïåðåìåííîé. Òàêîé, â ÷àñòíîñòè, áóäåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà , ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ìîæíî íàéòè èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî âåëè÷èíà åñòü ðåàëèçàöèÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ Îäíàêî ðåøåíèå íåðàâåíñòâ (4.3.3) ìîæåò áûòü òðóäíûì, ïîýòîìó äëÿ ïîäîáíûõ ñèòóàöèé æåëàòåëüíî èìåòü àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä. Òàêîé ìåòîä çäåñü áóäåò ðàññìîòðåí.

Ïðèìåð 4.6.1. Äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ ïàðàìåòðà ôîðìû ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì ñäâèãà X è ïàðàìåòð ìàñøòàáà 1, ò. å. ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü

òàê ÷òî [ñì. II, ðàçäåë 11.3].

Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà . Êàê óæå îòìå÷àëîñü, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (åñëè îí ìîæåò áûòü íàéäåí) áóäåò ñóùåñòâåííî çàâèñåòü îò âûáîðà «ðàáî÷åé» ñòàòèñòèêè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ëó÷øå âñåãî âçÿòü äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó.  íàøåì ñëó÷àå ýòî — âåëè÷èíà, ñ êîòîðîé òðóäíî ðàáîòàòü. Ïîýòîìó ìû èñïîëüçóåì ñòàòèñòèêó

Ýòî íåñìåùåííàÿ îöåíêà ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ [ñì. II, ðàçäåë 11.3.2]

ãäå ÷òî è ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

Ïðè ëþáîì çíà÷åíèè â ìîæíî íàéòè öåíòðàëüíûé 95%-íûé âåðîÿòíîñòíûé èíòåðâàë äëÿ âçÿâ òàê, ÷òîáû

[ñì. ðàçäåë 4.1.3]. Íàïðèìåð, äëÿ ïîëó÷àåì

òàê êàê èìååò ðàñïðåäåëåíèå ñ 4 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû [ñì. ðàçäåë

2.5.4, à)]. Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ [ñì. ïðèëîæåíèå 6] âèäíî, ÷òî , îòêóäà . Àíàëîãè÷íî . Ìîæíî ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ äëÿ äðóãèõ çíà÷åíèé â è ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, êàê â òàáë. 4.6.1 (â êîòîðîé çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèå äàííîìó , îáîçíà÷åíû êàê

Òàáëèöà 4.6.1. (ñì. ñêàí) Çíà÷åíèÿ òàêèå, ÷òî ãäå èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì

Ðèñ. 4.6.1. Ãðàôèêè ôóíêöèé èç òàáë. òèïè÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû ïðè êîòîðîì òî÷êà ëåæèò ìåæäó êðèâûìè. Ðèñóíîê äåìîíñòðèðóåò ðàâíîçíà÷íîñòü óñëîâèé

Òàêèì îáðàçîì, ìû ñóìåëè ïîëó÷èòü òå æå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ñ èñïîëüçîâàíèåì îïîðíîé ñòàòèñòèêè â (4.3.5) èç ïðèìåðà 4.3.1, è ðàçíèöà ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî ãðàíèöû äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íàéäåíû ïî òàáëèöàì, à íå ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ ôîðìóë. Òåïåðü íàøà çàäà÷à ðåøèòü íåðàâåíñòâî

(êîòîðîå âûïîëíåíî ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95), ò. å. ïîëó÷èòü ýêâèâàëåíòíîå (è âûïîëíåííîå ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ) íåðàâåíñòâî âèäà

Îáå ôóíêöèè íåïðåðûâíûå, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.1. Ïðåäëîæåíèå èëëþñòðèðóåòñÿ ðàñïîëîæåíèåì òî÷êè , ãäå ëåæèò íå âûøå ãðàôèêà Òàê êàê ãðàôèê íåïðåðûâåí è ìîíîòîíåí, ôóíêöèÿ îáðàòèìà [ñì. IV, ðàçäåë 2.7], ò. å. ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå òàêîå, ÷òî êîòîðîå ìîæíî íàéòè, ïðîâåäÿ ãîðèçîíòàëüíóþ ïðÿìóþ ÷åðåç òî÷êó è îòìåòèâ àáñöèññó òî÷êè åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì. Òàê êàê ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, . Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðåäëîæåíèå ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ ãäå ñêàæåì) Àíàëîãè÷íî, ãëÿäÿ íà íèæíþþ êðèâóþ íàõîäèì, ÷òî ïðåäëîæåíèå ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ

ãäå . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåíèå

(âûïîëíåííîå ñ âåðîÿòíîñòüþ ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ

êîòîðîå, êîíå÷íî, âûïîëíåíî ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ (ñì. ðèñ. 4.6.1). Ýòî èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ òî÷åê â èíòåðâàëå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó, òî 95%-íûì äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ ñëóæèò

Íèæíèé ïðåäåë îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

ãäå — ãàììà-ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïàðàìåòð ôîðìû Çíà÷åíèå âûáðàíî òàê, ÷òîáû ñëóæèëî âåðõíåé -êðèòè÷åñêîé òî÷êîé.

Âåðõíèé ïðåäåë îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

ò. å. — òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì ñëóæèò íèæíåé -êðèòè÷åñêîé òî÷êîé.

Äëÿ çàäàííîãî íàïðèìåð ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ èç òàáëèö èëè ãðàôè÷åñêè, êàê íà áîëåå ïîäðîáíîì âàðèàíòå ðèñ. 4.6.1, ïîñòðîåííîì ïî òî÷êàì òàáë. 4.6.1 [ñì. ðèñ. 4.6.2]. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî íàáëþäåííîå çíà÷åíèå (îòâå÷àþùåå çíà÷åíèþ íåñìåùåííîé îöåíêè äëÿ X) ïîðîæäàåò 95%-íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (2,3, 11,7) äëÿ è 95%-íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (0,23, 1,77) äëÿ X. (Îáëàñòü ìåæäó âåðõíèì è íèæíèì ãðàôèêîì íàçûâàþò äîâåðèòåëüíîé ïîëîñîé.)

Èíòóèòèâíûé ïîäõîä, êîòîðûé îáñóæäàëñÿ ïåðåä ïðèìåðîì 4.3.1, çäåñü çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðåíèè íåñêîëüêèõ õàðàêòåðíûõ òèïè÷íûõ ïëîòíîñòåé ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì çíà÷åíèÿì , êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.3. Âåñüìà ìàëîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû íà ãðàôèêå (1) è áîëüøîå çíà÷åíèå íà ãðàôèêå (3) ïðåäñòàâëÿþòñÿ íåïðàâäîïîäîáíûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àå íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè ëåæèò â îáëàñòè ìàëûõ çíà÷åíèé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè; â òî æå âðåìÿ ñî÷åòàåòñÿ ñî çíà÷åíèåì ó, òàê êàê ó ëåæèò â çîíå áîëüøèõ çíà÷åíèé ýòîé ïëîòíîñòè. Ãðàíèöû ìåæäó «ïðàâäîïîäîáíûìè» è «íåïðàâäîïîäîáíûìè» çíà÷åíèÿìè ìîãóò áûòü ïðèíÿòû, êàê è ðàíåå, ðàâíûìè òàê, ÷òîáû (êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.4)

(êëèêíèòå äëÿ ïðîñìîòðà ñêàíà)

Äëÿ ìû íàõîäèì èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî — ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, êâàíòèëü óðîâíÿ 0,025 êîòîðîãî ðàâíà 12, à ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, êâàíòèëü óðîâíÿ 0,975 êîòîðîãî ðàâíà 12. Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ [ñì. ïðèëîæåíèå 6] ïîëó÷àåì, ÷òî ëåæèò ìåæäó 23 è 24, à - ìåæäó 4 è 5. Èíòåðïîëÿöèÿ äàåò çíà÷åíèÿ ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ðàíåå.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå