4.6. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÄÎÂÅÐÈÒÅËÜÍÛÕ ÈÍÒÅÐÂÀËÎÂ ÁÅÇ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈß ÎÏÎÐÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ
 ðàçäåëå 4.3 áûëî ïîêàçàíî, êàê ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë â ñëó÷àå îäíîãî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ñ ïîìîùüþ îïîðíîé ïåðåìåííîé. Òàêóþ ïåðåìåííóþ âñåãäà ìîæíî íàéòè, åñëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé
íåïðåðûâíà ïî õ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîãî íàáëþäåíèÿ
âûáîðî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà îòðåçêå
[ñì. II, ðàçäåë
10.2.1] ïî òåîðåìå î ïðåîáðàçîâàíèè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà âåðîÿòíîñòåé [ñì. II, òåîðåìà 10.7.2]. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ. Îòñþäà ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ îò âåëè÷èí
áóäåò îïîðíîé ïåðåìåííîé. Òàêîé, â ÷àñòíîñòè, áóäåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
, ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ìîæíî íàéòè èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî âåëè÷èíà
åñòü ðåàëèçàöèÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ
Îäíàêî ðåøåíèå íåðàâåíñòâ (4.3.3) ìîæåò áûòü òðóäíûì, ïîýòîìó äëÿ ïîäîáíûõ ñèòóàöèé æåëàòåëüíî èìåòü àëüòåðíàòèâíûé ìåòîä. Òàêîé ìåòîä çäåñü áóäåò ðàññìîòðåí.
Ïðèìåð 4.6.1. Äîâåðèòåëüíûå ïðåäåëû äëÿ ïàðàìåòðà ôîðìû ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì ñäâèãà X è ïàðàìåòð ìàñøòàáà 1, ò. å. ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü
òàê ÷òî
[ñì. II, ðàçäåë 11.3].
Ïóñòü èìååòñÿ âûáîðêà
. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (åñëè îí ìîæåò áûòü íàéäåí) áóäåò ñóùåñòâåííî çàâèñåòü îò âûáîðà «ðàáî÷åé» ñòàòèñòèêè. Îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ëó÷øå âñåãî âçÿòü äîñòàòî÷íóþ ñòàòèñòèêó.  íàøåì ñëó÷àå ýòî
— âåëè÷èíà, ñ êîòîðîé òðóäíî ðàáîòàòü. Ïîýòîìó ìû èñïîëüçóåì ñòàòèñòèêó
Ýòî íåñìåùåííàÿ îöåíêà
ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ [ñì. II, ðàçäåë 11.3.2]
Ðèñ. 4.6.1. Ãðàôèêè ôóíêöèé
èç òàáë.
òèïè÷íîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû
ïðè êîòîðîì òî÷êà
ëåæèò ìåæäó êðèâûìè. Ðèñóíîê äåìîíñòðèðóåò ðàâíîçíà÷íîñòü óñëîâèé
Òàêèì îáðàçîì, ìû ñóìåëè ïîëó÷èòü òå æå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ñ èñïîëüçîâàíèåì îïîðíîé ñòàòèñòèêè â (4.3.5) èç ïðèìåðà 4.3.1, è ðàçíèöà ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òî ãðàíèöû äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íàéäåíû ïî òàáëèöàì, à íå ñ ïîìîùüþ ÿâíûõ ôîðìóë. Òåïåðü íàøà çàäà÷à ðåøèòü íåðàâåíñòâî
(êîòîðîå âûïîëíåíî ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95), ò. å. ïîëó÷èòü ýêâèâàëåíòíîå (è âûïîëíåííîå ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ) íåðàâåíñòâî âèäà
Îáå ôóíêöèè
íåïðåðûâíûå, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.1. Ïðåäëîæåíèå
èëëþñòðèðóåòñÿ ðàñïîëîæåíèåì òî÷êè
, ãäå
ëåæèò íå âûøå ãðàôèêà
Òàê êàê ãðàôèê íåïðåðûâåí è ìîíîòîíåí, ôóíêöèÿ
îáðàòèìà [ñì. IV, ðàçäåë 2.7], ò. å. ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå
òàêîå, ÷òî
êîòîðîå ìîæíî íàéòè, ïðîâåäÿ ãîðèçîíòàëüíóþ ïðÿìóþ ÷åðåç òî÷êó
è îòìåòèâ àáñöèññó
òî÷êè åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ãðàôèêîì. Òàê êàê ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò,
. Ïîëó÷àåì, ÷òî ïðåäëîæåíèå
ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ
ãäå
ñêàæåì)
Àíàëîãè÷íî, ãëÿäÿ íà íèæíþþ êðèâóþ
íàõîäèì, ÷òî ïðåäëîæåíèå
ëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ
ãäå
. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäëîæåíèå
(âûïîëíåííîå ñ âåðîÿòíîñòüþ
ýêâèâàëåíòíî ïðåäëîæåíèþ
êîòîðîå, êîíå÷íî, âûïîëíåíî ñ òîé æå âåðîÿòíîñòüþ (ñì. ðèñ. 4.6.1). Ýòî èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ òî÷åê
â èíòåðâàëå
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè
. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó, òî 95%-íûì äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì äëÿ
ñëóæèò
Íèæíèé ïðåäåë
îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
ãäå
— ãàììà-ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ïàðàìåòð ôîðìû
Çíà÷åíèå
âûáðàíî òàê, ÷òîáû
ñëóæèëî âåðõíåé
-êðèòè÷åñêîé òî÷êîé.
Âåðõíèé ïðåäåë
îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
ò. å.
— òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì
ñëóæèò íèæíåé
-êðèòè÷åñêîé òî÷êîé.
Äëÿ çàäàííîãî
íàïðèìåð
ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ
èç òàáëèö èëè ãðàôè÷åñêè, êàê íà áîëåå ïîäðîáíîì âàðèàíòå ðèñ. 4.6.1, ïîñòðîåííîì ïî òî÷êàì òàáë. 4.6.1 [ñì. ðèñ. 4.6.2]. Èç ãðàôèêà âèäíî, ÷òî íàáëþäåííîå çíà÷åíèå
(îòâå÷àþùåå çíà÷åíèþ íåñìåùåííîé îöåíêè
äëÿ X) ïîðîæäàåò 95%-íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (2,3, 11,7) äëÿ
è 95%-íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (0,23, 1,77) äëÿ X. (Îáëàñòü ìåæäó âåðõíèì è íèæíèì ãðàôèêîì íàçûâàþò äîâåðèòåëüíîé ïîëîñîé.)
Èíòóèòèâíûé ïîäõîä, êîòîðûé îáñóæäàëñÿ ïåðåä ïðèìåðîì 4.3.1, çäåñü çàêëþ÷àåòñÿ â ðàññìîòðåíèè íåñêîëüêèõ õàðàêòåðíûõ òèïè÷íûõ ïëîòíîñòåé ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì çíà÷åíèÿì
, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.3. Âåñüìà ìàëîå çíà÷åíèå
âåëè÷èíû
íà ãðàôèêå (1) è áîëüøîå çíà÷åíèå
íà ãðàôèêå (3) ïðåäñòàâëÿþòñÿ íåïðàâäîïîäîáíûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àå íàáëþäàåìîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè
ëåæèò â îáëàñòè ìàëûõ çíà÷åíèé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè; â òî æå âðåìÿ
ñî÷åòàåòñÿ ñî çíà÷åíèåì ó, òàê êàê ó ëåæèò â çîíå áîëüøèõ çíà÷åíèé ýòîé ïëîòíîñòè. Ãðàíèöû ìåæäó «ïðàâäîïîäîáíûìè» è «íåïðàâäîïîäîáíûìè» çíà÷åíèÿìè
ìîãóò áûòü ïðèíÿòû, êàê è ðàíåå, ðàâíûìè
òàê, ÷òîáû (êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.6.4)

(êëèêíèòå äëÿ ïðîñìîòðà ñêàíà)