Ãëàâíàÿ > Ìàòåìàòèêà > Ñïðàâî÷íèê ïî ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêå. Òîì 1
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

8.2.5. ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏËÀÍÛ È ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ

Ìîäåëü íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, êîãäà ìàòðèöà ïëàíà À òàêîâà, ÷òî ìàòðèöà èìååò äèàãîíàëüíûé âèä, ñêàæåì .  ýòîì ñëó÷àå îáðàòíàÿ ìàòðèöà òîæå äèàãîíàëüíà: à âåêòîð ðåøåíèé äîïóñêàåò çàïèñü â ïðîñòîé ñêàëÿðíîé ôîðìå:

÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ íîðìàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, êîòîðûå â ñâîþ î÷åðåäü ñòàíîâÿòñÿ ñîâñåì ïðîñòûìè:

Îäíîñòîðîííÿÿ êîíôèãóðàöèÿ èç ïðèìåðà 8.2.6 ïðåäñòàâëÿåò îðòîãîíàëüíóþ ìîäåëü. Òà ëåãêîñòü, ñ êîòîðîé ìîãóò ðåøàòüñÿ íîðìàëüíûå

óðàâíåíèÿ, — îäíî èç ïðèâëåêàòåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñâîéñòâ îðòîãîíàëüíûõ ìîäåëåé. Ìû åùå ïîêàæåì ýòî, êîãäà áóäåì ðàññìàòðèâàòü îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû.

Äîïóñòèì, ÷òî íàäî ïîñòðîèòü ïîëèíîìèàëüíóþ ðåãðåññèîííóþ ìîäåëü â âèäå

ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì

Ìàòðèöû À è ïðèâåäåíû â ïðèìåðå 8.2.5, îòêóäà âèäíî, ÷òî ïëàí íå îðòîãîíàëåí. Íî ìîäåëü ìîæíî ìíîãèìè ýêâèâàëåíòíûìè ñïîñîáàìè ïðèâåñòè ê ñëåäóþùåìó âèäó:

ãäå äëÿ — ïîëèíîìû ñòåïåíè êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ (âìåñòå ñ îïðåäåëÿþò ). Äëÿ ýòîé íîâîé ìîäåëè ìàòðèöà ïëàíà èìååò âèä

òàê ÷òî ýëåìåíò ìàòðèöû îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì:

Ïîñêîëüêó äîëæíà áûòü äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé, òðåáóåòñÿ, ÷òîáû

Ïîëèíîìû, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè è ïîçâîëÿþò îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü îòäåëüíî îò èõ ñîìíîæèòåëåé. Äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò ìàòðèöû ñ íîìåðîì ðàâåí: îòêóäà ÌÍÊ-îöåíêà äëÿ îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé:

à äèñïåðñèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ ýòîé îöåíêîé, ðàâíà .  ÷àñòíîñòè, ïîñêîëüêó ïîëó÷àåì îòêóäà ÌÍÊ-îöåíêà äëÿ èìååò äèñïåðñèþ Çàìåòèì, ÷òî,

ïîñêîëüêó äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, îöåíêè ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, â îðòîãîíàëüíûõ ïëàíàõ âñåãäà íåêîððåëèðîâàíû.

Èç (8.2.5) âèäíî, ÷òî îñòàòî÷íóþ ñóììó êâàäðàòîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê:

èëè, ó÷èòûâàÿ, ÷òî òàê:

Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû îïðåäåëÿþòñÿ íåçàâèñèìî îò êîíñòàíò-ñîìíîæèòåëåé. Ïîýòîìó íåâàæíî, êàêèå èìåííî êîíñòàíòû âûáðàòü. Òàê, åñëè ìû ðàññìîòðèì

ãäå ïðè — çàäàííûå êîíñòàíòû), òî ñðàçó âèäíî, ÷òî , ñëåäîâàòåëüíî, .

Òàêèì îáðàçîì, îñòàòêè â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäíè è òå æå.

Ïðèìåð 8.2.15. Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû â îáû÷íîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè. Ðàíüøå óæå îáñóæäàëàñü [ñì. ïðèìåð 8.2.5] ëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ äëÿ îäíîé ïåðåìåííîé ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëè

Ýòà ìîäåëü íåîðòîãîíàëüíà. Â ïðèìåðå 8.2.5 äëÿ íåå ïðèâåäåíû . À âîò àëüòåðíàòèâíàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îêàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé:

Çäåñü ïåðåìåííàÿ èçìåðÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñðåäíåãî õ íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ Äëÿ òàêîé íîâîé ìîäåëè èìååì

îòêóäà . Ñëåäîâàòåëüíî, â îáåèõ ìîäåëÿõ îäèíàêîâî, à Êðîìå òîãî,

è íåêîððåëèðîâàíû (òîãäà êàê , íàîáîðîò, êîððåëèðîâàíû).

Äëÿ ìíîæåñòâåííîé ëèíåéíîé ðåãðåññèè ìû ìîæåì ïðèáåãíóòü ê òîìó æå ìåòîäó ïîëó÷åíèÿ ÷àñòè÷íîé îðòîãîíàëüíîñòè, ïåðåïèñûâàÿ ìîäåëü

â àëüòåðíàòèâíîé, «ñêîððåêòèðîâàííîé íà ñðåäíåå» ôîðìå:

ãäå îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå íàáëþäåíèé ïî .  ýòîì ñëó÷àå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Äëÿ âòîðîé ìîäåëè ïåðâàÿ ñòðîêà ìàòðèöû òàêîâà:

ò. å. , îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïåðâàÿ ñòðîêà ìàòðèöû áóäåò: Çíà÷èò, ÌÍÊ-îöåíêà äëÿ êàê ðàç è ïîëó÷àåòñÿ ïî ôîðìóëå Êðîìå òîãî, êàæäàÿ èç ÌÍÊ-îöåíîê äëÿ íå êîððåëèðóåò ñ îöåíêîé äëÿ

Âîçâðàùàÿñü ê ìîäåëè ñ îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè (8.2.6), îòìåòèì, ÷òî îêàçûâàåòñÿ, êîãäà çíà÷åíèÿ ðàñïîëîæåíû ïðîèçâîëüíî, íå íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà, îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû ïðèõîäèòñÿ ñòðîèòü ñïåöèàëüíî äëÿ êàæäîãî êîíêðåòíîãî íàáîðà äàííûõ, ÷òî â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñíèæàåò ïðåèìóùåñòâî îðòîãîíàëüíûõ ìîäåëåé, îáóñëîâëåííîå ëåãêîñòüþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé. Åñëè æå, îäíàêî, çíà÷åíèÿ õ ðàñïîëîæåíû ðàâíîìåðíî, íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà (êàê ãîâîðÿò, ñ ðàâíûì øàãîì), äà åùå âñå ðàçëè÷íû, òî ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñòàíäàðòíûìè ïîëèíîìàìè, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò òàáëèöû.

Âîçüìåì ñòàíäàðòèçîâàííóþ ïåðåìåííóþ Òîãäà çíà÷åíèÿ è áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿì à èìåííî (ñ î÷åâèäíûìè ïåðåñòàíîâêàìè):

Òîãäà ôàêòè÷åñêè îöåíèâàåìàÿ ìîäåëü ïðèìåò âèä

ãäå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, âûáðàííûå èç òàáëèö è âû÷èñëåííûå ñ òåì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû ñîîòâåòñòâîâàòü êàæäîìó öåëîìó çíà÷åíèþ .  Biometrika Tables [ñì. Pearson and Hartley (1966), òàáë. 47 — G], ïðèâîäÿòñÿ ôîðìóëû äëÿ ïðè à òàêæå ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ . Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ìåòîä íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå.

Ïðèìåð 8.2.16. Ïîäáîð êóáè÷åñêîé êðèâîé ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Áûëè ñîáðàíû ñëåäóþùèå äàííûå îá îñàäêàõ ïî ìåñÿöàì:

Ìû çàêîäèðóåì ìåñÿöû è âîçüìåì ýòè çíà÷åíèÿ â êà÷åñòâå . À äàííûå îá îñàäêàõ áóäóò ñëóæèòü ñîîòâåòñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè Áóäåì ïîäáèðàòü ïî äàííûì ðàçëè÷íûå ïîëèíîìèàëüíûå ìîäåëè è äëÿ ïåðåìåííîé ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ òàáëèöó:

(ñì. ñêàí)

Åå òðè ïîñëåäíèå ñòðîêè ïîëó÷åíû èç óïîìÿíóòûõ âûøå òàáëèö, îòêóäà ìû åùå è óçíàëè, ÷òî

Íà÷íåì ñ ïîäáîðà ìîäåëè

Ïî íàøèì äàííûì ïîäñ÷èòàåì

Âîò ÌÍÊ-îöåíêè äëÿ è

Èç òàáëèö äëÿ íàõîäèì, ÷òî îòêóäà ïîäîáðàííûé ïîëèíîì èìååò âèä

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷èì

Ýòî òîò æå ðåçóëüòàò, êàêîé ìû ïîëó÷èëè áû, ïðèìåíèâ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ê íåîðòîãîíàëüíîé ìîäåëè

Òåïåðü ïîäáåðåì êâàäðàòè÷íóþ ìîäåëü

Îöåíêè è íå èçìåíÿòñÿ, ïîýòîìó îñòàåòñÿ òîëüêî âû÷èñëèòü ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî

Èç òàáëèö èìååì ïîýòîìó ïîäîáðàííûé ïîëèíîì òàêîâ:

èëè

Ýòî òîò æå ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìû ïîëó÷èëè áû, ïðèìåíèâ ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ê îáû÷íîé êâàäðàòè÷íîé ìîäåëè

Çàìåòèì, ÷òî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü îðòîãîíàëüíîé ìîäåëè çäåñü îöåíêè èíûå, ÷åì â ìîäåëè ïåðâîãî ïîðÿäêà.

Äëÿ êóáè÷åñêîé ìîäåëè

íàì îñòàåòñÿ òîëüêî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ðàâíî 36,98, íàéòè

Òàáëèöû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîýòîìó êóáè÷åñêàÿ ìîäåëü áóäåò ñëåäóþùåé:

èëè

è ýòî ñíîâà òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî äàåò ïðèìåíåíèå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ê ìîäåëè

Âîïðîñ î òîì, êàêàÿ èç ýòèõ ìîäåëåé ëó÷øå ñîîòâåòñòâóåò äàííûì, ìû îáñóäèì ïîçæå, â ðàçäåëå 8.3.5. Ýòîò ìåòîä ïðåäïîëàãàåò ïîñëåäîâàòåëüíûé ïîäáîð íåñêîëüêèõ ìîäåëåé ïîâûøàþùèõñÿ ñòåïåíåé.  òàêèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçîâàíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ èìååò, â ÷àñòíîñòè, òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ê êàæäîé ñëåäóþùåé ñòåïåíè òðåáóåòñÿ ñîâñåì íåìíîãî äîïîëíèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé, â òî âðåìÿ êàê äëÿ íåîðòîãîíàëüíûõ ìîäåëåé ïðèõîäèòñÿ íà êàæäîì ýòàïå îáðàùàòü ìàòðèöó (÷òî, êîíå÷íî, íå ïðîáëåìà, êîãäà âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íà êîìïüþòåðå).

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå