Макеты страниц 7.5. ТАБЛИЦЫ ЧАСТОТ ПЕРЕКРЕСТНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ (ТАБЛИЦЫ СОПРЯЖЕННОСТИ). КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ7.5.1. ТАБЛИЦЫ 2х2; СПЕЦИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫПримером типичной таблицы Таблица 7.5.1. (см. скан) Влияние прививки на холерную инфекцию Четыре элемента таблицы, а именно 1625, 5, 1022, 11, — это частоты; мы имеем, таким образом, таблицу в виде квадрата вместо более привычного ряда столбцов. Эта таблица частот в принципе пригодна для построения критерия согласия Есть особенности таблиц 1) в некоторых случаях необходимо делать «поправку на непрерывность», чтобы уменьшить погрешность, возникающую при аппроксимации непрерывным распределением 2) для таблиц 2x2 односторонний критерий Эти особенности рассмотрены ниже. Нулевая гипотеза. В связи с табл. 7.5.1 возникает вопрос: значимо ли воздействие прививки на вероятность заболевания? Попробуем принять в качестве нулевой гипотезы, что прививка не оказывает действия и что видимый эффект от прививки есть результат случайных флуктуаций. Мы должны, следовательно, сравнить элементы в таблице с соответствующими ожидаемыми элементами в предположении справедливости гипотезы. Ожидаемые частоты. Из гипотезы следует, что для 2663 человек, находящихся в группе риска, ожидаемая доля заболевших после прививки будет той же, что и ожидаемая доля заболевших среди тех, кому прививку не делали; общее значение этих долей совпадает с долей заболевших во всей выборке, а именно а) случайно выбранный представитель из группы людей с прививкой будет инфецирован и б) случайно выбранный представитель из группы непривитых людей будет инфецирован с понятием однородности для ожидаемых долей. При нулевой гипотезе ожидаемая частота в любой ячейке может быть найдена умножением доли Таблица 7.5.2. (см. скан) Ожидаемые доли заболевших людей при гипотезе, что прививка неэффективна Таблица 7.5.3. (см. скан) Ожидаемые частоты, соответствующие табл. 7.5.2 Только один элемент следует вычислять умножением маргинальной частоты на ожидаемую долю; остальные элементы находятся вычитанием. Значение
Таблица 7.5.4. (см. скан) Наблюденные частоты, ожидаемые частоты и разности Число степеней свободы Число степеней свободы тогда равно:
Поправка на непрерывность. В точном критерии для проверки гипотезы независимости, описанном в разделах 5.4.1 и 5.4.4, уровень значимости является суммой вероятностей (при нулевой гипотезе) получения ряда таблиц 2x2, а именно той таблицы, которая реально наблюдалась, плюс все таблицы с теми же маргинальными частотами, но еще более далекие от независимости. Поясним, что такое «более далекие» таблицы. В нашем примере ожидаемые частоты при нулевой гипотезе [см. табл. 7.5.3] равны:
а наблюденные частоты следующие:
5 случаев заболевания после прививки — это малая частота (меньше ожидаемой) и упомянутые выше более далекие случаи были бы представлены таблицами с 4, 3, 2, 1 и 0 заболевшими после прививки. Поскольку маргинальные числа должны остаться теми же, эти таблицы образуют следующее множество:
Так как имеется только одна степень свободы, мы должны рассмотреть только один элемент в каждой таблице, скажем, элемент в верхнем правом углу, представляющий категорию «заболевших после прививки». Уровень значимости относительно гипотезы независимости тогда равен
где
модифицированной таблицей
в которой число 5 увеличено до 5,5, а все другие элементы изменены так, чтобы сохранить общие маргинальные частоты. При такой модификации ожидаемые частоты остаются без изменения. Эта процедура Рис. 7.5.1. (см. скан) Ординаты, представляющие Рис. 7.5.2. (см. скан) Прямоугольники единичной ширины с высотами, равными ординатам известна как поправка Йейтса на непрерывность для критерия
Модифицированная величина
Уровень значимости. Поскольку разности между ожидаемыми частотами и скорректированными на непрерывность наблюденными частотами при вычислении статистики Пирсона
которая имеет те же маргинальные частоты и поэтому те же ожидаемые частоты, но в которой каждая разность имеет обратный знак. Например, -4,79 превращается в +4,79 и наоборот. Следовательно, если мы возьмем в качестве нашего уровня значимости вероятность
то должны будем принять во внимание не только сумму Р, вероятностей для таблицы наблюденных частот, но также и сумму Чтобы выделить интересующую нас вероятность, заметим, что
так как
В нашем примере Условия Кокрена применимости критерия Следующий пример показывает, что даже эта рекомендация не универсальна. В примере сумма четырех частот равна лишь 30, но в то же время процедура Пример 7.5.1. Преступность и близнецы. Данные относятся к 30 преступникам мужского пола, каждый из которых имел брата близнеца. Тридцать человек были классифицированы: а) по природе родства (однояйцовые или разнояйцовые близнецы) и б) по виновности или невиновности брата. Результаты представлены в табл. 7.5.5. Таблица 7.5.5 (см. скан) Непосредственное вычисление ожидаемых частот в предположении отсутствия связи между природой родства и преступностью близнеца приводит к следующим ожидаемым частотам: (см. скан) Статистика Пирсона, вычисленная непосредственно по этим данным, равна
Применение поправки на непрерывность, которая уменьшает абсолютную величину разности между наблюденной и ожидаемой частотой в ячейке на 0,5, приводит к скорректированной величине статистики:
Ясно, что требуется односторонний критерий, и соответствующий уровень значимости поэтому равен:
Этот результат хорошо соотносится с величиной 0,0005, полученной по точному критерию. Он является высоко значимым и решительно отвергает нулевую гипотезу.
|
Оглавление
|