6.7.2. ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÄÀÍÍÛÅ È ÃÐÓÏÏÈÐÎÂÊÀ. ÏÎÏÐÀÂÊÀ ØÅÏÏÀÐÄÀ
Íàáëþäåíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â åñòåñòâåííîì âèäå, ò. å. òàê, «êàê îíè íàáëþäàþòñÿ», èëè â âèäå òàáëèöû ÷àñòîò. Èòàê, äîïóñòèì, ÷òî ï.ð.â. ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èç êîòîðîé ïðîèñõîäèò âûáîðêà, ðàâíà
. Åñëè íàáëþäåíèÿ
ôèêñèðóþòñÿ ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè, èõ ìîæíî ñ÷èòàòü ðåàëèçàöèåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èõ ñîâìåñòíàÿ âûáîðî÷íàÿ ïëîòíîñòü, â òî÷êå
ïðè óñëîâèè íåçàâèñèìîñòè íàáëþäåíèé ðàâíà
. Íà ïðàêòèêå æå òî÷íîñòü ðåãèñòðàöèè íàáëþäåíèé âñåãäà êîíå÷íà, ïîýòîìó, íàïðèìåð, âûðàæåíèå «çíà÷åíèå íàáëþäåíèÿ
ðàâíî
â äåéñòâèòåëüíîñòè ñîîòâåòñòâóåò íåðàâåíñòâó
, à ýëåìåíò ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ â, îòâå÷àþùèé ýòîìó íàáëþäåíèþ, áóäåò ðàâåí íå
, à
ãäå
ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Äîïóñêàÿ, ÷òî âûáîðêà èç íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òàáëèöû ÷àñòîò, îáîçíà÷èì ÷àñòîòó ÿ÷åéêè
÷åðåç
Îáîçíà÷èì ï.ð.â. ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X â òî÷êå õ ÷åðåç
, à åå ô.ð. — ÷åðåç
.
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äàííûå ïîëó÷åíû èç äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ÷àñòîòîé íàáëþäåíèÿ
ðàâíîé
òî ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ áóäåò
à åå ëîãàðèôì ðàâåí:
Îöåíêà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
Åñëè æå ñ÷èòàòü, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè èñõîäíàÿ ñîâîêóïíîñòü íåïðåðûâíà, òî (ïðàâèëüíàÿ) ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ èìååò âèä
Îíà äîëæíà áûòü ìàêñèìèçèðîâàíà ñ ïðèâëå÷åíèåì íåêîòîðîãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà. Îäíàêî åñëè
äîñòàòî÷íî ìàëî, íàïðèìåð
òî, îïóñêàÿ ÷ëåíû íà÷èíàÿ ñ
â ðàçëîæåíèè ïî Òåéëîðó, ïîëó÷èì
ãäå øòðèõè îçíà÷àþò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî
Òîãäà
è ñ òîé æå ñòåïåíüþ ïðèáëèæåíèÿ
Íàïðèìåð, åñëè èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì ñ ïàðàìåòðàìè
, òî, ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå â ïàðàìåòð
ìû ïîëó÷èì
Òàêèì îáðàçîì, ãðóïïèðîâàííîé îöåíêîé
áóäåò
Óðàâíåíèå ïðàâäîïîäîáèÿ, îñíîâàííîå íà ïîäïðàâëåííîé ï.ð.â., ñâåäåòñÿ ê
îòêóäà ïîäïðàâëåííàÿ î.ì.ï. áóäåò ðàâíà
Êàê âèäèì, çäåñü îöåíêè ñîâïàëè:
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîìèìî ïàðàìåòðà
ãðóïïèðîâàííóþ îöåíêó äëÿ
. Èìååì
Ïðèðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ê íóëþ è ðåøàÿ åãî â ñèñòåìå ñ óðàâíåíèåì äëÿ
ïîëó÷àåì
ãäå
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãðóïïèðîâàííîé îöåíêîé äëÿ
áóäåò
Ïîäïðàâëåííîå óðàâíåíèå ïðàâäîïîäîáèÿ ñâîäèòñÿ ê
ãäå
— ãðóïïèðîâàííûé ÷åòâåðòûé âûáîðî÷íûé ìîìåíò, ðàâíûé
Åñëè ìû äàëåå àïïðîêñèìèðóåì ýòî óðàâíåíèå, çàìåíÿÿ
íà èõ ñîîòâåòñòâóþùèå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû, òî ïðè
ñ ïðèíÿòîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ
ïîëó÷àåì
Òàêèì îáðàçîì, ïîäïðàâëåííàÿ î.ì.ï. äèñïåðñèè èñõîäíîé ñîâîêóïíîñòè ïîëó÷àåòñÿ èç îöåíêè äèñïåðñèé ïî ãðóïïèðîâàííûì äàííûì ñ ïîïðàâêîé íà
, ãäå
— øèðèíà èíòåðâàëà ãðóïïèðîâêè. (Ýòî èçâåñòíî êàê ïîïðàâêà Øåïïàðäà.)
6.8. ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ ÄËß ÄÀËÜÍÅÉØÅÃÎ ×ÒÅÍÈß
(ñì. ñêàí)