Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В предыдущих главах рассматривались дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции (или вектор-функции), которая зависит только от одной переменной. Пусть неизвестная функция зависит от двух или более переменных: Уравнение вида

называется уравнением с частными производными первого порядка. Интегрирование таких уравнений сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений — это будет показано в данной главе.

§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям 1-го порядка с частными производными

1. Уравнения поверхностей.

Рассмотрим в трехмерном пространстве поверхность , образованную вращением около оси кривой расположенной в плоскости Уравнение этой поверхности имеет вид

Функцию будем предполагать достаточно гладкой. Продифференцируем уравнение (1) по

откуда находим соотношение

Мы получили уравнение с частными производными 1-го порядка относительно неизвестной функции График решения — поверхность в пространстве называется интегральной поверхностью уравнения (2).

Это уравнение выражает геометрическое свойство поверхностей вращения: сечение такой поверхности плоскостью есть окружность с центром в начале координат. Действительно, рассмотрим кривую на плоскости Если точка то вектор ортогонален к вектору а потому коллинеарен вектору Вектор направлен по нормали к кривой I в точке так как линия уровня функции Следовательно, нормаль к кривой I в любой ее точке направлена по радиусу-вектору а потому I есть окружность с центром в точке .

В § 2 будет показано, что любая интегральная поверхность уравнения (2) есть поверхность вращения с осью так что все такие поверхности полностью описываются уравнением с частными производными (2). Таким образом, всякое решение уравнения (2) дается формулой (1), где — произвольная функция. Семейство решений уравнения (2) зависит от произвольной функции. Это утверждение справедливо для всех уравнений с частными производными первого порядка.

Задача. Доказать, что если — уравнение поверхности вращения, ось которой направлена вдоль прямой то функция удовлетворяет уравнению

В § 2 будут рассмотрены уравнения с частными производными первого порядка, описывающие цилиндрические и конические поверхности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление