Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Неустойчивость по линейному приближению.

Теорема 1. Пусть вектор-функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия а. Если матрица Якоби имеет собственное значение с положительной вещественной частью, то положение равновесия а неустойчиво.

Доказательство. Пусть Применим теорему Четаева (§ 6). В качестве функции Четаева мы, как и в § 7, возьмем (см. (9), § 7). Тогда

где . В любой окрестности точки имеются точки, в которых что следует из вида этой функции, и точки, в которых Действительно,

так что например, в точке вида достаточно мал, так как

в этой точке, . Поэтому существует область

в которой и граница которой содержит точку Из теоремы Четаева следует неустойчивость положения равновесия.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление