Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Устойчивость по линейному приближению.

Сформулируем фундаментальный результат теории устойчивости

Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Пусть вектор-функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия а. Если веще ственные части всех собственных значений матрицы Яко отрицательны, то положение равновесия а асимптотически устойчиво. Кроме того, справедлива оценка

где для всех достаточно близких к точке а.

Эту теорему можно сформулировать еще так: если положение равновесия линеаризованной системы асимптотически устойчиво, то асимптотически устойчиво положение равновесия нелинейной системы.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Имеем из (2), (3)

где . Чтобы доказать асимптотическую устойчивость положения равновесия , достаточно построить функцию Ляпунова такую, что функция положительно определена, а функция отрицательно определена в некоторой окрестности точки (§ 5). В качестве возьмем функцию Ляпунова линеаризованной системы, построенную в § 7.

Пусть Т — матрица, приводящая матрицу А к почти диагональному виду, т. е. . Матрицы — те же, что и в доказательстве теоремы из § 7. Положим Туг тогда система (1) примет вид

где обозначено Функцию Ляпунова возьмем в виде

Эта функция положительно определена в

Заметим, что хотя матрица Т и вектор у могут иметь комплексные элементы, вектор-функция вполне определена, так как вещественный вектор.

Вычислим Имеем из (6), (7)

Слагаемое , (т. е. выражение, заключенное в первые квадратные скобки) есть производная в силу линейной системы

Поэтому справедлива оценка (§ 6, (4))

где — постоянная. Из оценок

следует, что

где в некоторой окрестности точки Следовательно,

Выберем окрестность точки такую, что тогда

и потому функция отрицательно определена в области Тем самым асимптотическая устойчивость положения равновесия доказана.

Из оценки (8) и вида функции следует, что

где (это доказывается так же, как и неравенство (6) из § 7), и из (8), § 7 следует оценка (5).

Замечание. Можно показать, что в качестве показателя а в неравенстве (5) можно взять любое такое число, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление