Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Устойчивость по линейному приближению

1. Линеаризация.

Пусть а — положение равновесия автономной системы

из уравнений. Вектор-функция предполагается дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки а.

Разложим вектор-функцию по формуле Тейлора:

где — матрица Якоби (гл. 2, § 9); ее элементы равны Далее

Следовательно, если точки а достаточно близки. Отбросим в разложении (2) вектор-функции нелинейные члены, квадратичные по Тогда получим линейную систему

Здесь . Система (4) называется линеаризованной (для системы (1) в окрестности положения равновесия а), а переход от нелинейной системы (1) к линейной системе (4) называется линеаризацией.

Линеаризованная система (4) — это линейная система с постоянными коэффициентами; она интегрируется, и потому устойчивость положения равновесия полностью исследована. Замечательно то, что по структуре положения равновесия линеаризованной системы можно (хотя и не всегда) судить об устойчивости положения равновесия нелинейной системы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление