Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Колебания маятника.

Рассмотрим колебания плоского математического маятника — точка массы подвешена на конце нити длины и находится в однородном поле тяжести. Колебания маятника описываются уравнением

где — угол отклонения маятника от вертикали. Имеется интеграл энергии

Положим и перейдем к системе единиц, в которой тогда фазовые траектории маятника задаются уравнениями

Положения равновесия — точки Четным значениям отвечает нижняя точка подвеса, нечетным — верхняя. Ввиду периодичности косинуса достаточно изобразить траектории при Тем же споообом, что и выше, получаем, что при фазовые траектории — замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку , при — незамкнутые бесконечные периодические по х кривые (рис. 28). Облает отвечающие финитным и инфинитным движениям, разделены сепаратрисами. При маятник совершает периодические колебания, не поднимаясь до верхней точки подвеса; при маятник крутится вокруг точки подвеса.

Вычислим период колебаний маятника. Из (7) следует, что если то Е можно записать в виде где максимальный угол отклонения. По формуле (6) находим

Подстановка и приводит этот интеграл к виду

где

Функция называется полным эллиптическим интегралом первого рода [391; эта функция протабулирована.

Рис. 28

Формула (8) показывает, что период колебаний маятника зависит от амплитуды, что характерно для нелинейных колебаний. При малых (т. е. при малых колебаниях маятника) имеем

и в первом приближении период не зависит от Е (ср. гл. 1, § 6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление