Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Производная в силу системы. Первые интегралы

1. Производная в силу системы.

Рассмотрим систему из уравнений

Предположения. В некоторой области в пространстве для системы (1) выполнены условия новной теоремы (гл. 2, § 1). Все прочие функции которые рассматриваются ниже, непрерывно дифференцируемы в области

Пусть и — некоторая функция, — решение системы (1). Вдоль этой интегральной кривой функция и будет функцией одной переменной

Дифференцируя это тождество по и учитывая, что — решение системы (1), получаем

Полученное выражение называется производной функции и в силу системы (1) и обозначается или Таким образом,

Рассмотрим автономную систему из уравнений

и функцию Ее производная в сплу системы (4) равна

где градиент функции и

Производная в силу системы (4) называется также производной по направлению векторного поля или производной Ли (в честь норвежского математика Софуса Ли).

Замечацие 1. Производной функции и по направлению называется величина

где единичный вектор. Это частный случай производной по направлению векторного поля; последняя учитывает не только направление, но и длину вектора (см. (5)).

Лемма. Пусть и производная в силу системы (4), и в некоторой области . Тогда функция и не убывает (не возрастает) вдоль любой фазовой траектории системы (4), лежащей в области

Доказательство следует из (2): если то и функция не убывает с ростом

Пусть и — гладкая функция, в некоторой области Тогда уравнение определяет гладкую гиперповерхность (гл. 2, § 10), а вектор ортогонален к в точке х и направлен в сторону возрастания функции Если в области то вектор образует прямой или тупой угол с вектором и потому направлен в сторону убывания (или постоянства) функции и . В ту же сторону направлена фазовая траектория у системы (4), выходящая из точки так как — касательный вектор к в точке х. Эти рассуждения дают геометрическое доказательство леммы.

Производная в силу системы (4) инвариантна относительно гладкой замены переменных. Это означает следующее. Сделаем гладкую обратимую замену переменных (гл. 2, § 10), тогда функция и перейдет в функцию а система (4) — в систему

Производная в силу системы при этом не изменяется, т. е.

если связаны соотношением Здесь и

производная в силу системы (4), производная в силу системы (4). Действительно (гл. 2, § 11),

где , так что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление