Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки

Рассмотрим автономную систему из уравнений

в малой окрестности точки а, отличной от положения равновесия: .

Выясним поведение решений системы (1) в окрестности точки а. Векторное поле локально устроено весьма просто: при близких к а, т. е. близкие векторы имеют примерно ту же длину и то же направление, что и Фазовые траектории в малом будут почти прямыми, и малая окрестность точки а расслаивается на непересекающиеся фазовые траектории. Покажем, что в области можно ввести такие координаты, в которых фазовые траектории будут прямыми линиями. Прежде чем приводить, строгие формулировки и доказательства, поясним выбор этих координат. Пусть , при траектория пересекает прямую в точке . Чтобы задать точку на траектории, необходимо задать еще время (рис. 24). Итак, точка на фазовой траектории вполне определяется заданием двух чисел с одной стороны, или заданием декартовых координат точки Геометрически очевидно, что соответствие в малом взаимно однозначно. Уравнение траектории в координатах есть , т. е. фазовая траектория в этих координатах — прямая линия (рис. 24).

Теорема. Пусть точка а не является положением равновесия системы (1). Тогда в малой окрестности точки а систему (1) с помощью гладкой замены переменных можно привести к виду.

Траектории системы (2) — прямые линии:

Доказательство. Так как то можно, не ограничивая общности, считать, что . Проведем гиперплоскость П: ее точки имеют вид Пусть решение системы (1) такое, что

т. е. начальная точка траектории при лежит на гиперплоскости П. Формула

дает искомую замену переменных: обозначим

В новых координатах у траектории будут прямыми линиями.

Рис. 24.

Действительно, по определению решения имеем, что постоянны вдоль траектории ее уравнение в переменных у имеет вид

Остается проверить, что замена переменных является гладкой, т. е. что выполняются условия теоремы об обратной функции. Имеем при замене (4). Вычислим матрицу Якоби вектор-функции при Имеем из (3)

Следовательно,

Далее, в силу того, что решение системы (1), имеем

так что матрица Якоби имеет вид

(* обозначены неизвестные нам числа). Поэтому и условия теоремы об обратной функции выполнены.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление