Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Векторные поля. Механическая интерпретация фазовых траекторий.

Пусть в каждой точке х области задан -вектор Тогда говорят, что в области задано векторное поле. Автономная система (1) полностью определяется заданием векторного поля Говорят, что кривая принадлежит векторному полю, если она в каждой своей точке касается вектору из этого векторного поля (рис. 21), Согласно этому определению фазовые траектории автономной системы (1) принадлежат векторному полю Действительно, пусть — решение системы (1), определенное при Пусть уравнения определяют кривую (фазовую траекторию) на плоскости

. Как известно из математического анализа, вектор касается этой кривой в точке так что вектор касается фазовой траектории (в точке ). Это же рассуждение справедливо и в -мерном пространстве. Исключение составляет, разумеется, случай, когда фазовая траектория состоит из одной точки — положения равновесия.

Точки векторного поля в которых вектор — нулевой, называются критическими (или особыми) точками векторного поля. Таким образом, положения равновесия системы (1) — это критические точки векторного поля Векторное поле устроено просто в малой окрестности любой некритической точки. Действительно, если то при х, близких к а, т. е. векторы в близких точках имеют примерно ту же длину и то же направление, что и вектор Столь же просто устроены фазовые траектории вблизи точки, отличной от положения равновесия. Если точка а — критическая, то длина вектора стремится к нулю при Направление же вектора при х близких к а, может меняться весьма произвольно, и даже при (т. е. на плоскости) структура векторного поля (и соответствующих фазовых траекторий) может быть очень сложной.

Рис. 22.

С автономной системой (1) связано еще одно важное понятие — фазовый поток Вначале приведем пояснения. Возьмем любую точку х из области выпустим из нее фазовую траекторию и сдвинем точку вдоль траектории за время Полученную точку обозначим Тем самым определено отображение (каждая точка х области отображается в точку лежащую в области Если — подобласть области то тем самым определено отображение т. е. каждая точка переходит при этом в точку (рис. 22). Область при таком отображении деформируется; в § 2 будет показано, как при такой деформации изменяется объем области

Строгое определение отображения таково. Пусть — решение задачи Коши х для системы (1). Тогда

Из свойств 6°, 7° вытекают следующие групповые свойства отображения

где — тождественное отображение: для любой точки Первое из соотношений (6) означает, что для любой точки и если переписать его с помощью (5), то мы получим первое из соотношений 6°. Множество преобразований, зависящих от одного вещественного параметра и обладающего свойствами (6), называется однопараметрической группой преобразований; подробнее см. [3].

Приведем одну физических интерпретаций автономной системы (1). Рассмотрим установившееся (стационарное) течение жидкости в трехмерном пространстве Это течение характеризуется тем, что частица жидкости в тот момент времени, в который она проходит через точку имеет скорость Эта скорость зависит только от точки х, но не от времени: если другая частица в другой момент времени пройдет через точку х, то мгновенная скорость в этой точке будет той же. Тем самым в пространстве задано векторное поле — поле скоростей и соответствующая автономная система, описывающая движение частиц жидкости, имеет вид

Фазовые траектории называются в этом случае линиями тока; это кривые, по которым движутся (текут) частицы жидкости. Термин «фазовый поток» при такой гидромеханической интерпретации также становится абсолютно прозрачным.

Рис. 23.

Введем понятие трубки тока. Возьмем в трехмерном пространстве площадку (т. е. поверхность), которая не касается ни в одной точке векторов поля скоростей, и выпустим из нее линии тока. Множество, которое они заполнят, и называется трубкой тока (рис. 23).

Точно так же и в -мерном пространстве векторное поле (см. (1)) можно интерпретировать как поле скоростей, фазовые траектории — как линии тока, и можно ввести понятие трубки траекторий (трубки тока).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление