Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть есть дифференциал некоторой функции

и в этом случае легко интегрируется:

Полученное соотношение определяет у как неявную функцию х.

Пример 15. Уравнение

есть уравнение в полных дифференциалах: так что все его решения даются формулой , где С — произвольная постоянная. При интегральные кривые — гиперболы, при имеем . Через точки оси у (кроме точки не проходит ни одной интегральной кривой, так что в этих точках должны нарушаться условия теоремы существования и единственности. Действительно, правая часть уравнения обращается в бесконечность при .

Теорема. Пусть функции непрерывно дифференцируемы в области Для того чтобы уравнение (17) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо, чтобы выполнялось условие

Если область — односвязная, то условие (19) является достаточным.

Доказательство. Пусть (17) есть уравнение в полных дифференциалах, тогда из (18) находим

Дифференцируя первое из этих соотношений по у, второе — по х, получаем (19). Пусть — односвязная область и условие (19) выполнено. Рассмотрим интеграл

который, берется по кривой у, лежащей в и соединяющей точки ; точка фиксирована.

Из теоремы о независимости интеграла от пути интегрирования следует, что интеграл (20) не зависит от а есть функция только от верхнего предела интегрирования Обозначим полученную функцию тогда всюду в области выполняется (18).

Пример 16. Решим уравнение

В данном случае и проверка показывает, что Следовательно, существует функция такая, что — Найдем функцию Имеем

где — неизвестная функция, так что

Мы не добавляем произвольной постоянной интегрирования С, так как функцию достаточно знать с точностью до постоянной. Найдем Имеем

и семейство решений задается неявным уравнением

Пример 17. Решим уравнение

Проверка показывает, что так что левая часть уравнения равна Имеем

откуда находим, что Следовательно,

семейство решений задается уравнением или

где С — произвольная постоянная. Отметим, что интегральными кривыми являются не прямые а лучи:

К этому семейству следует добавить два луча, образующие ось х:

(см. замечание 1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление