Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Теорема сравнения.

Рассмотрим уравнение (3), где — постоянная.

1°. Пусть тогда всякое решение имеет вид

Это решение может иметь не более одного нуля.

2°. Если то всякое решение имеет вид

Любое решение имеет бесконечно много нулей, причем расстояние между соседними нулями равно и оно тем меньше, чем больше коэффициент

На основании примера можно сделать следующий эвристический вывод: решение уравнения (3) колеблется тем чаще, чем больше

Этот вывод правилен, как показывает

Теорема сравнения. Рассмотрим два уравнения

с непрерывными и вещественными на отрезке коэффициентами. Если

то между двумя соседними нулями любого нетривиального решения лежит по крайней мере один нуль любого решения

Доказательство. Пусть — соседние нули решения можно считать, что при Допустим, что не обращается в нуль на отрезке тогда можно считать, что на этом отрезке. Умножим первое из уравнений (4) на второе на и вычтем из первого уравнения второе. Получим

Проинтегрируем это тождество от до Так как

и поскольку то получим

Так как при то так что выражение в квадратных скобках отрицательно (напомним, что на отрезке Поскольку на отрезке в силу условия (5), то интеграл в формуле (6) неположителен. Следовательно, левая часть равенства (6) отрицательна; полученное противоречие доказывает теорему.

Следствие 1. Если то любое решение уравнения (3) может иметь не более одного нуля.

Применим теорему сравнения, полагая Допустим, что решение упмеет два нуля

Тогда на отрезке обязано обратиться в нуль любое решение уравнения это неверно, например, для решения

Следствие 2. Нули линейно независимых решений уравнения (3) перемежаются.

Это означает, что строго между любыми двумя соседними нулями решения лежит ровно один нуль решения

Доказательство, Пусть — линейно независимые решения уравнения (3), Они не могут иметь общих нулей: если то вронскиан этих решений равен нулю в точке что противоречит их линейной независимости. Пусть — соседние нули решения . В качестве уравнения сравнения для (3) возьмем его же, т. е. в (4). По теореме сравнения между лежит нуль решения Если бы решение имело еще один нуль то, по доказанному выше, решение имело бы нуль, лежащий между Это противоречит тому, что — соседние нули.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление