§ 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
1. Уравнения n-го порядка.
Рассмотрим неоднородное скалярное уравнение
порядка
и соответствующее однородное уравнение
Предпол ожение. Коэффициенты уравнения
и правая часть
непрерывны на отрезке I.
Перенесем на это уравнение все результаты §§ 4—6. Определителем Вронского (или вронскианом) системы функций
называется определитель
1°. Если
, то функции
линейно независимы.
Допустим противное; тогда существуют постоянные
не равные нулю одновременно и такие, что
Дифференцируя это тождество, получаем
Следовательно, столбцы вронскиана
линейно зависимы и потому
Это противоречит предположению
2°. Пусть
— решения однородного уравнения (2). Если их вронскиан обращается в нуль хотя бы в одной точке, то эти функции линейно зависимы.
Пусть
тогда столбцы вронскиана линейно зависимы, так что
где числа
не все равны нулю. Функция
вектор-функции
линейно зависимы, то
где не все числа с равны нулю. Выписывая первую компоненту в этом тождестве, получаем (4), т. е. функции
линейно зависимы.
Итак, линейная зависимость набора функций (вектор-функций) влечет за собой линейную зависимость набора вектор-функций (функций). Переходя в этом утверждении к отрицанию, получаем то же относительно линейной независимости.
Фундаментальной системой решений уравнения (2) называется набор из
линейно независимых решений.
4°. Фундаментальные системы решений уравнения (2) существуют.
Пусть
— фундаментальная система решений системы (6). Так как эти вектор-функции линейно независимы, то линейно независимы их первые компоненты — функции
в силу 3°, и потому они образуют фундаментальную систему решений уравнения (2).
5°. Пусть
— фундаментальная система решений уравнения (2). Тогда всякое решение этого уравнения имеет вид
— произвольные постоянные.
По каждой функции
построим вектор-функцию
по формуле (6). Вектор-функции
линейно независимы, в силу 3°, и потому образуют фундаментальную систему решений системы (6). Поэтому всякое решение этой системы имеет вид
теорема 2)
Приравнивая в этом тождестве первые компоненты векторов, получаем (7).
6°. Пусть
— решения однородного уравнения (2) и
— их вронскиан. Справедлива формула Лиувилля:
Действительно, если
матрица (6), то
и из формулы Лиувилля (§ 4) следует (8).
7°. Построим частное решение неоднородного уравнения (1). Введем матрицу-функцию:
которая является фундаментальной матрицей системы (6), и вектор-функцию
Уравнение (1) эквивалентно системе
Ее частное решение дается формулой (1), § 6, так что частное решение уравнения (1) можно взять в виде
Индекс 1 означает, что берется первая компонента этой вектор-функции.