Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами

Рассмотрим лпнейную систему из уравнений

Матрица-функция и вектор-функция непрерывны на интервале I.

Теорема. Система (1) имеет частное решение

Здесь — фундаментальная матрица однородной системы

Доказательство. Применим метод вариации постоянных, т. е. будем искать решение системы (1) в виде

где с неизвестная вектор-функция. Подставляя в (1) и учитывая, что , получаем

откуда находим

Так как — фундаментальная матрица системы (3), то ее определитель нигде не обращается в нуль и потому матрица-функция Существует и непрерывна при Интегрируя уравнение для с находим частное решение

Подставив это выражение в (4), получим (2).

Замечание. В формуле (2) можно каждую компоненту вектор-функции интегрировать по своему интервалу, т. е. компоненту интегрировать по интервалу Этот очевидный факт играет существенную роль в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [12].

Всякое решение неоднородной системы (1) есть сумма ее частного решения и общего решения однородной системы. Поэтому, если известна фундаментальная система решений однородной системы, то отыскание всех решений неоднородной системы сводится к квадратурам — . В частности, решение задачи Коши

для системы (1) дается формулой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление