Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Формула Лиувилля

Пусть — квадратная матрица порядка — ее определитель. Выведем формулу для

Лемма. Если матрица дифференцируема и невырождена в точке то в этой точке

Доказательство. Из формулы Тейлора следует, что

Отсюда находим

где . Далее,

Действительно, этот определитель имеет вид

Произведение любых двух элементов, не находящихся на главной диагонали, имеет порядок так что члены порядка могут содержаться только в произведении диагональных элементов, которое равно

Тем самым (2) доказано, так что

Переходя в этом равенстве к пределу при получаем (1).

Рассмотрим линейную однородную, систему из уравнений

с непрерывной на некотором отрезке I матрицей-функцией

Теорема. Пусть — решения системы (3) и — их вронскиан. Тогда справедлива формула Лиувилля

Доказательство. Если решения линейно зависимы, то и формула очевидна. Пусть эти решения линейно независимы, и т. е. столбцы матрицы-функции — вектор-функции Эта матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

так как ее столбцы — решения системы (3). Имеем из (1), (4)

Интегрируя это уравнение относительно получаем формулу Лиувилля.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление