§ 4. Формула Лиувилля
Пусть
— квадратная матрица порядка
— ее определитель. Выведем формулу для
Лемма. Если матрица
дифференцируема и невырождена в точке
то в этой точке
Доказательство. Из формулы Тейлора следует, что
Отсюда находим
где
. Далее,
Действительно, этот определитель имеет вид
Произведение любых двух элементов, не находящихся на главной диагонали, имеет порядок
так что члены порядка
могут содержаться только в произведении диагональных элементов, которое равно
Тем самым (2) доказано, так что
Переходя в этом равенстве к пределу при
получаем (1).
Рассмотрим линейную однородную, систему из
уравнений
с непрерывной на некотором отрезке I матрицей-функцией
Теорема. Пусть
— решения системы (3) и
— их вронскиан. Тогда справедлива формула Лиувилля
Доказательство. Если решения
линейно зависимы, то
и формула
очевидна. Пусть эти решения линейно независимы, и
т. е. столбцы матрицы-функции
— вектор-функции
Эта матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
так как ее столбцы — решения системы (3). Имеем из (1), (4)
Интегрируя это уравнение относительно
получаем формулу Лиувилля.