Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Вычисление матричной экспоненты.

Пусть -матрица, тогда

Лемма. Если Т — невырожденная -матрица,

то

Доказательство вытекает из тождества

Эта лемма необыкновенно упрощает вычисление степеней матриц. Ясно, что в качестве матрицы Т нужно взять такую, которая приводит матрицу А к простейшему виду. Пусть матрица А приводится к диагональному виду, т. е. существует матрица Т такая, что

Тогда, в силу (6),

Из (6) следует, что

и если матрица А приводится к диагональному виду, то

В частности, отсюда следует, что

Здесь — след матрицы А, т. е. сумма ее диагональных элементов;

Из линейной алгебры [7, 17] известно, что так что

Формула (9) для определителя матричной экспоненты (доказанная пока только для таких матриц, которые приводятся к диагональному виду) справедлива для любых квадратных матриц.

Формулы (2), (8) позволяют получить новое доказательство формулы для решений системы (1) (гл. 1, § 8). Всякое решение системы (1) имеет вид , где а —

постоянный вектор; возьмем его в виде В силу (8) имеем

где компонента вектора равна 1, остальные равны нулю. Так как собственный вектор матрицы А, то мы пришли к формуле (4) из гл. 1, § 8.

В общем случае матрица А приводится к жордановой нормальной форме. Пусть В — жорданов блок порядка с нулевыми диагональными элементами. Степени этой матрицы равны

Пусть — жорданов блок порядка с диагональными элементами, равными , т. е. Имеем

где так как и окончательно получаем

Из этой формулы следует,

Эта формула в. сочетании с (8) позволяет вычислить матрицу для произвольной матрицы А.

Матричная экспонента позволяет установить связи между важнейшими классами матриц. Из (5) следует, что

так как Аналогично,

где А — эрмитово сопряженная матрица (т. е. если то

Если матрица А — кососимметрическая, т. е. , то матрица — ортогональная. Действительно,

2. Если матрица А — косоэрмитова, т. е. , то матрица . — унитарная. Действительно,

Из (12), (13) следует также, что если матрица А симметрическая (эрмитова), то матрица также симметрическая (эрмитова).

Одно из основных отличий матричной экспоненты от обычной (скалярной) таково

если Чтобы убедиться в этом, достаточно взять матрицы

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление