Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Доказательство теоремы.

Задача Коши (1), (2) эквивалентна системе интегральных уравнений

где обозначено

Применим метод последовательных приближений:

Так как матрица-функция и вектор-функция непрерывны на отрезке то все последовательные приближения — непрерывные на отрезке I вектор-функции. Докажем, что последовательные приближения равномерно сходятся на отрезке

Как и в доказательстве основной теоремы (гл. 2, § 1), рассмотрим ряд

Его частичные суммы равны так что из равномерной сходимости ряда (5) следует равномерная сходимость последовательности Как а

в доказательстве основной теоремы, достаточно доказать сходимость ряда

Напомним, что если есть -вектор, то его норма в пространстве определяется так:

а норма -матрицы определяются по формулам (гл. 2, §§ 2, 3):

Так как вектор-функция и матрица-функция непрерывны при то

где Си — постоянные.

Оценим нормы в последовательных приближений. Имеем Далее,

(мы воспользовались неравенством в неравенством (3) из § 5, гл. 2)

Далее,

(используем оценку (7))

Докажем по индукции, что выполняются оценки

При это неравенство доказано; совершим переход по индукции от к к к Имеем

(используем оценку (8))

Тем самым оценка (8) доказана.

Так как

Правая часть неравенства не зависит от поэтому неравенство верно для максимума по левой части (т. е. для нормы в С)

Так как числовой ряд сходится (его сумма равна то сходится ряд (6) и тем самым равномерная сходимость последовательности доказана. В силу равномерной сходимости предельная вектор-функция непрерывна на отрезке I.

Переходя к пределу при к в соотношении (4), что возможно в силу равномерной сходимости последовательности получаем, что удовлетворяет системе интегральных уравнений (3) при всех Тем самым существование решения задачи Коши (1), (2) доказана. Единственность вытекает основной теоремы и теоремы о продолжении решений (гл. 2, § 6).

Рассмотрим задачу Коши для нелинейной системы из уравнений

где

Теорема. Пусть вектор-функция непрерывна при по совокупности переменных и

при всех . Тогда решение задачи Коши (9) существует и единственно на всем отрезке 1.

Наметим доказательство. Для последовательных приближений

в силу леммы 3 (гл. 2, § 4) и оценок (9) справедливо неравенство

и по индукции, как и выше, доказывается неравенство

где А — некоторая постоянная. Далее см. доказательство предыдущей теоремы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление