Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Особые решения. Огибающая.

Рассмотрим уравнение (5). Точка называется неособой, если существует ее окрестность такая, что через каждую точку этой окрестности проходит интегральная кривая и притом только одна. В противном случае точка называется особой. Решение, все точки которого особые, называется особым решением. Для уравнения все точки оси особые (гл. 1, § 2), и решение особое. Аналогично, точка называется неособой для уравнения (1), если существует ее окрестность (на поверхности ?), через каждую точку которой проходит интегральная кривая и притом только одна; в противном случае эта точка называется особой.

Из теоремы 1 следует, что все особые точки уравнения (1) лежат на дискриминантной кривой и что особыми решениями могут быть только ветви дискриминантной кривой.

Пусть имеется семейство кривых на плоскости, заданное уравнением

где С — параметр. Функция вещественна и непрерывно дифференцируема в некоторой области пространства Последующие рассмотрения носят локальный характер — в малой окрестности точки , где

Кривая y называется огибающей семейства кривых (8), если в каждой своей точке она касается одной из кривых семейства и если в разных точках она касается разных кривых.

Теорема 2. Огибающая семейства решений есть решение.

Очевидно, что это решение — особое.

Доказательство. Пусть для определенности семейство (8) — решения уравнения (5), и Пусть, далее, — интегральная кривая, проходящая через точку — уравнение кривой вблизи этой точки. Тогда

так как эти кривые касаются. Поэтому и уравнение (5) выполняется.

Найдем уравнение огибающей.

Теорема 3. Пусть в точке Тогда в некоторой окрестности точки, лежащие на огибающей семейства кривых (8), определяются из системы

Доказательство. Пусть и пусть для определенности, в точке . Покажем, что точка не лежит на огибающей; тем самым теорема будет доказана. По теореме о неявной функции из уравнения (8) можно выразить С через где — непрерывно дифференцируемая функция в достаточно малой области Кроме того, 0 в точке так как из тождества следует, что в точке

Сделаем замену переменных

Эта замена гладкая и обратимая, так как якобиан

При такой замене огибающая переходит в огибающую. В новых переменных семейство (8) примет вид а это — семейство параллельных прямых, которое не имеет огибающей.

Итак, чтобы найти уравнение огибающей, надо исключить С из системы (9), что даст (вообще говоря) уравнение вида Но определенная этим уравнением кривая может и не быть огибающей — теорема 3 дает лишь необходимые условия.

Пример 4. Рассмотрим семейство кривых

(см. пример 2). Из уравнения находим подставляя в уравнение получаем линию которая является огибающей этого семейства парабол.

Пример 5. Уравнение из примера 3 имеет семейство решений

Имеем , так что из системы находим Эта кривая — не огибающая семейства, а множество точек возврата кривых семейства (рис. 17).

Пример 6. Рассмотрим семейство синусоид

Из уравнения находим так что и система (9) определяет семейство точек Семейство, таким образом, не имеет огибающей.

Рис. 17.

Точки называются фокальными точками семейства. Уравнения (10) могут, например, описывать световые лучи на плоскости, которые выходят из источника, расположенного в точке . В точке происходит фокусировка лучей, так как все лучи собираются в эту точку.

Приведем одну из физических интерпретаций огибающей. Пусть кривые семейства — это световые лучи в плоской неоднородной среде. Тогда огибающая называется каустикой (горячая). Интенсивность света на каустике в геометрическом приближении бесконечна, так как плотность лучей на каустике бесконечна. Реально точки каустики светятся заметно ярче, чем все другие. Каждому знакома такая картина: на дне в мелкой воде видны ярко светящиеся линии. Это и есть каустики. Частный случай каустики — фокальная точка линзы (пример 6).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление