Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Теорема о неявной функции.

Рассмотрим систему из уравнений

неизвестными и приведем достаточные условия, при которых можно выразить из этой системы переменные через Тогда найдем функции

которые неявно заданы системой уравнений (16). Перейдем к векторным обозначениям, положив

(все векторы-столбцы), тогда система (16) примет вид

Обозначим матрицу Якоби вектор-функции относительно переменных у, т. е. -матрицу

Теорема о неявной функции. Пусть выполнены условия:

1°. Вектор-функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки

существуют окрестности такие, что:

1. Существует вектор-функция которая определена при значения лежат в области V, и

2. Вектор-функция непрерывно дифференцируема в области

3. Вектор-функция удовлетворяющая тождеству (18), единственна, если область достаточно мала.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему

относительно неизвестных с известными правыми частями Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. это система вида (1) и при она имеет решение Матрица Якоби вектор-функции, стоящей в левой части (19), есть

Здесь — единичная и нулевая матрицы порядков так как . В точке имеем и для системы

(19) выполнены условия теоремы об обратной функции. Поэтому существует, и притом единственная, обратная вектор-функция

которая взаимно однозначно отображает окрестность точки на окрестность точки и вектор-функции непрерывно дифференцируемы. Окрестность можно задать заранее; возьмем ее в виде , где — окрестность точки а в V — окрестность точки Кроме того, ясно, что так что

Положим тогда из первого уравнения системы (19) находим

и теорема доказана.

Вычислим матрицу Якоби неявной вектор-функции Пусть х — одно переменное, у — одно переменное, — скалярная функция. Дифференцируя тождество (18) по х, получаем

откуда находим

Удобство матричных обозначений состоит в том, что эта формула справедлива и для вектор-функций, т. е. если . В формуле есть -матрица описанная выше,

есть -матрица. Нужно, конечно, проследить за тем, чтобы матрицы перемножались в нужном порядке; но при ошибиться невозможно, так как нельзя умножить -матрицу на -матрицу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление