Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Это уравнения вида

Будем предполагать, что функции непрерывны на интервалах соответственно. Запишем уравнение (3) в виде и проинтегрируем; тогда получим

Здесь С — произвольная постоянная, точки фиксированы, . Формулу (4) принято также записывать так

Мы будем использовать обе формы записи. Соотношение (4) имеет вид (вид функций ясен из (4)), и определяет у как неявную функцию х.

Но формула (4) не дает всех решений уравнения (3): при ее выводе мы делили на функцию которая может обращаться в нуль. Если у таково, что то функция — решение уравнения (3).

Рассмотрим задачу Коши (2) для уравнения (3). Если то ее решение единственно и дается формулой

На примере уравнения (3) видно, как может возникнуть неединственность решения задачи Коши. Если то задача Коши (2) имеет решение Если, кроме того, сходится интеграл при у, близких к то задача Коши может иметь также решение вида (5) (см. пример 2).

Пример 1. Решим уравнение

Имеем

так что где С — произвольная постоянная. Кроме того, имеется решение Если , то интегральная кривая есть гипербола, если то интегральная кривая есть ось х. Решение задачи Коши при равно

Этот пример показывает, что решение уравнения (1) может обратиться в бесконечность при конечном х (или за конечное время, если переменное х есть время). В самом деле, если то решение задачи Коши (2) обращается в бесконечность при

При построении семейства интегральных кривых следует обратить особое внимание на решения вида Такие решения являются исключениями уже потому, что не описываются общей формулой (4). Соответствующие интегральные кривые либо разделяют различные семейства интегральных кривых, либо являются линиями, на которых нарушается единственность решения задачи Коши.

Пример 2. Все решения уравнения

даются формулой

где С — произвольная постоянная. Интегральные кривые изображены на рис. 2. На оси х нарушается единственность: через каждую точку проходят две интегральные кривые: Следовательно, на оси х должны нарушаться условия теоремы существования и единственности. В этом примере

и производная обращается в бесконечность при

Рис. 2.

Пример 3. Решим уравнение

Инеем

где С — произвольная постоянная. Решим задачу Коши при условии Имеем целое. В силу периодичности тангенса можно положить так что Это решение существует на интервале на концах интервала решение обращается в бесконечность.

Пр имер 4. Решим уравнение

Оно имеет решения Далее,

При построении интегральных крввых удобно считать х функцией у. Все эти кривые получаются сдвигами вдоль оси х кривой Она состоит из трех ветвей.

В этом примере исключительные решения разделяют три семейства интегральных кривых.

Пример 5. Решим уравнение

Оно имеет решение Далее,

где С — произвольная постоянная.

В этом примере, как во многих других, значительно проще решить дифференциальное уравнение, чем построить семейство интегральных кривых. При решении дифференциальных уравнений на упражнениях подавляющее большинство уравнений необходимо только проинтегрировать, не анализируя интегральных кривых.

Сделаем замечание по поводу «произвольной постоянной С. Во-первых, множество значений, которые она принимает, зависит от конкретного уравнения. Так, в примере 3, ввиду периодичности тангенса, можно считать, что Во-вторых, одно и то же семейство решений может описываться формулами, в которые постоянная С входит по-разному. Здесь нет общих рецептов, но желательно записать уравнение семейства так, чтобы зависимость от С была бы попроще. Приведем такого рода пример.

Замечание 2. Рассмотрим семейство функций

где С — произвольная постоянная. Такие семейства возникают при интегрировании многих дифференциальных уравнений. Покажем, что это семейство можно задать формулой

где произвольная постоянная. Так как то семейство задается уравнениями

Если С меняется от до то пробегает все значения от 0 до и потому две формулы (6) можно объединить в одну формулу (6). Если имеется еще решение , то в формуле произвольная постоянная.

В частности, в примере 4 все решения даются формулой

где С — произвольная постоянная.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление