Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка

1. Доказательство основной теоремы.

В § 1 мы свели задачу Коши для системы из уравнений к системе интегральных уравнений

где интегральный оператор:

В дальнейшем будет систематически применяться

Лемма. Если непрерывная при вектор-функция, то справедливо неравенство

Доказательство. Имеем

так как Правая часть этого неравенства не зависит от номера беря максимум по от левой части, получаем оценку (3).

Применим к уравнению (1) принцип сжатых отображений. Пусть П — параллелепипед целиком содержащийся в области (рис. 11). Обозначим

Рассмотрим меньший параллелепипед , где будет указано ниже. В качестве банахова пространства В выберем т. е. пространство непрерывных на отрезке вещественнозначных вектор-функций , с нормой

В качестве М возьмем множество вектор-функций таких, что Это множество ограничено, так для всех . Множество М замкнуто, так как где то предельная вектор-функция , и, кроме того, с так что .

Итак, остается проверить, что оператор А, определяемый формулой (2), сжимает М, если достаточно мало.

1°. Покажем, что если достаточно мало, то . Пусть . Тогда вектор-функция ее как интеграл (2) от непрерывной на этом отрезке вектор-функции является

ется непрерывной вектор-функцией. Далее,

так что

Если

имеем .

2°. Покажем, что если достаточно мало, то

где для любых Пусть . Имеем в силу леммы 2, § 4 (параллелепипед — выпуклое множество)

Беря максимум от обеих частей неравенства, получаем

где Если где фиксированное число, то неравенство (5), выполняется.

Итак, мы доказали, что если таково, что

то оператор А сжимает М. Применяя принцип сжатых отображений, получаем, что уравнение имеет решение непрерывное на отрезке и притом единственное. В § 1 было показано (см. лемму), что отсюда следует теорема существования и единственности

ности для задачи Коши

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление