Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Ангармонические колебания.

Рассмотрим уравнение

где — вещественные постоянные. Корни характеристического уравнения равны

Возможны несколько вариантов, в зависимости от соотношения между числами

1°. Затухающие гармонические колебания. Пусть тогда и все вещественные решения уравнения (5) имеют вид

где Си произвольные вещественные постоянные. Решения можно записать в виде, аналогичном (3):

Рис. 5.

Эта функция — непериодическая; но ее нули, а также максимумы и минимумы периодически повторяются, с периодом Колебания, которые описываются формулой (6) — затухающие, так как (график см. на рис. 5). Величина называется амплитудой колебаний. Величина называется коэффициентом затухания. Она равна где — промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в раз. Действительно,

Величина называется логарифмическим декрементом затухания. Эта величина показывает, насколько убывает амплитуда функции за один период. Пусть — число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в раз. Тогда

Следовательно, — это величина, обратная числу колебаний, после которых амплитуда уменьшается в раз. Логарифмический декремент (часто говорят просто «декремент») есть «естественная» мера быстроты затухания колебаний, поскольку естественным масштабом времени для каждого колебания есть его длительность Г.

Для характеристики колебательных контуров употребляется еще величина — добротность контура:

Добротность контура тем больше, чем дольше длятся колебания контура — в естественном масштабе времени для контура, где единица измерения времени есть Т.

Запишем уравнение (5) в виде второго закона Ньютона:

Слагаемое в правой части — можно интерпретировать как силу, пропорциональную скорости х частицы и направленную в сторону, противоположную направлению движения частицы. Так действует, например, сила трения (в простейшей модели). Ясно, что эта сила тормозит движение частицы, что и приводит к затуханию колебаний; но лучшим объяснением их затухания является формула (7). Затухающие гармонические колебания возникают в линейных системах с потерями (например, в электрическом колебательном контуре, в цепь которого включено сопротивление).

2°. Апериодический процесс. Пусть по-прежнему но тогда корни оба вещественны и отрицательны, если Решение имеет вид

и не колеблется. Это отвечает наличию большого трения или больших потерь в системе.

3°. Остается исследовать случай Решения имеют вид

В первом случае амплитуда колебаний Аеыг неограниченно возрастает со временем. Такой процесс может описываться линейным уравнением только на конечном промежутке времени, так как колебания с большими амплитудами нелинейны. Во втором случае при амплитуда колебаний также неограниченно возрастает. При имеется единственное (с точностью до множителя) убывающее решение:

только оно имеет физический смысл при изучении малых колебаний.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление