Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Метод ВКБ для нелинейных уравнений.

Рассмотрим уравнение

Если — линейная по х функция: то это уравнение вида (1) из § 4, асимптотика решений которого находится с помощью метода Будем искать решение в виде

где — неизвестная функция и у разлагается в асимптотический ряд

Имеем

Подставим разложение (59) в уравнение (57) и приравняем коэффициенты при степенях е. Тогда получим рекуррентную систему уравнений, первые два из которых имеют вид

Разложение вида (59) называют двухмасштабным, а сам метод — методом двухмасштабных разложений, так как здесь имеются два «времени»: и

Уравнение (60) содержит две неизвестные функции и и найти их можно, только псследуя уравнение для второго приближения. Эта ситуация типична для нелинейных задач и уже встречалась нам ранее.

Будем предполагать, что уравнение (60) имеет периодическое по переменной решение с периодом Т. Заметим, что переменная в этом и всех последующих уравнениях играет роль параметра. Решение и его период Г, очевидно, зависят от неизвестной функции

Уравнение (61) линейное, и одно из его решений есть

Для доказательства достаточно продифференцировать уравнение (60) по Решение периодично по с периодом Т. Пусть — второе линейно независимое решение; тогда

где — постоянная. Действительно, коэффициент — периодическая с периодом Т функция. Пусть — мультипликаторы этого уравнения (гл. 3, § 11), и так как уравнение (61) имеет периодическое решение то Поскольку то и тождество (62) следует из теоремы Флоке — Ляпунова (гл. 3, § 11). Нормируем решения так, чтобы их вронскиан был равен единице.

Докажем вспомогательное утверждение. Рассмотрим уравнение

где функции периодичны с периодом Т и однородное уравнение имеет Г-периодическое решение Если второе линейно независимое решение, то

Лемма. Пусть Для того чтобы уравнение (63) имело Т-периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Доказательство. Нормируем решения так, чтобы их вронскиан был равен единице. Тогда всякое решение уравнения (63) имеет вид (гл. 3, § 7 (16))

В силу периодичности функций и тождества (64) имеем

Пусть тогда коэффициенты при решениях должны равняться нулю, так что

Допустим, что условие (65) выполнено. Положим

тогда решение. заданное формулой (66), будет Т-периодическим.

Для уравнения (61) условие (65) принимает вид

так что

где Е — постоянная. Итак, мы получили систему двух уравнений (60), (61) для двух неизвестных функций

Следующие приближения определяются из линейных уравнений.

Пример 10. Рассмотрим уравнение

Уравнения (60), (61) в данном случае имеют вид

Первое уравнение есть уравнение Дуффинга (7), которое имеет решение

Эта функция удовлетворяет уравнению

Следовательно, должны выполняться соотношения

Мы получили два уравнения для трех неизвестных функций . Третье уравнение следует из условия (67) и имеет вид

Здесь где К — полный эллиптический интеграл второго рода:

Используя выражение для находим

где Используя уравнение

можно представить в виде

или в виде

где — полный эллиптический интеграл первого рода:

Условия (69), (70) дают три уравнения для трех неизвестных функций Из этих уравнений находим

Из последнего уравнения можно найти модуль эллиптической функции (по крайней мере, численно). После этого из первых двух соотношений (72) определяются функции Соответствующие численные результаты и графпки решений приведены в [29], [37].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление