Макеты страниц 5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений.В предыдущих разделах рассматривались уравнения, в которые малый параметр Пример 6. Рассмотрим задачу Коши
на полуоси решение есть
Возможны 1. а > 0. В этом случае
при всех Введем переменную
Эта функция экспоненциально убывает при
2. а < 0. В этом случае
при Рассмотрим задачу Коши для автономного уравнения второго порядка
на отрезке [0, Т],
и рассмотрим автономную систему более общего вида:
где
Будем предполагать, что это уравнение имеет решение
где
Будем предполагать, что решение Таким образом, предельная задача
Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет начальному условию
вне сколь угодно малой окрестности граничной точки системы (32) имеет вид
На кривой
Рис. 46. Вектор
Итак, корень Выясним поведение решений вблизи граничной точки
Полагая
Точка и чтобы решение
Для этого достаточно, чтобы положение равновесия После этих пояснений можно точно сформулировать условия, достаточные для существования предельного перехода (36). Пусть 1°. Уравнение 2°. Корень 3°. Задача Коши
имеет решение Рассмотрим систему (38)
которая называется присоединенной. В этой системе переменные 4°. Положение равновесия Пусть § 8) условие 4° выполнено, если
при Рассмотрим задачу Коши для присоединенной системы
где 5°. Пусть
и точки вида В этом случае говорят, что начальное данное Пусть условия
Это частный случай теоремы Тихонова, которая охватывает и неавтономные системы (см. [14], [49]). Пример 7. Рассмотрим задачу Коши
при
Из предельного уравнения
так что решение
Рассмотрим два варианта. А.
Таким образом, условия
Положение равновесия — точка
Покажем, что условие
и
Итак, окончательные условия таковы: Найдем асимптотику решения задачи Коши (35), при условиях Введем две области: А — отрезок
Общая схема метода сращивания (пригодная и для многих других задач) такова. Для искомого решения строятся два разных асимптотических разложения: одно в области Внутреннее разложение будем искать в виде асимптотических рядов
где
Внешнее разложение будем искать в виде асимптотических рядов
Существование асимптотических разложений вида (45)-(47) следует из теоремы Тихонова. Построим внутреннее разложение. После замены
Подставим в эту систему разложение (45), разложим правые части по степеням
Отсюда находим
Уравнение для
и, более того,
Следующая задача Коши такова:
значения
Подставляя это выражение в первое из уравнений (50), получаем для решение которой существует и единственно при Покажем, что все члены
где
подставляем в первое из уравнений (52) и получаем линейную неоднородную систему для определения Построим внешнее разложение. Подставим разложение (47) в (35), разложим правые части по степеням
Для
Это решение существует и единственно при
Чтобы выделить единственное решение, необходимо задать начальные условия для
Первое из них выполняется, так как
а в силу условия 5°
Таким образом, сращивание разложений в нулевом приближении происходит «автоматически» — оно гарантируется условием 5°. Мы можем написать, что
и аналогично для у. Итак, в первом приближении имеем
с точностью до слагаемых порядка Чтобы найти члены следующего приближения Пример 8. Рассмотрим задачу Коши
при
Найдем внутреннее разложение. Полагая
Для членов внутреннего разложения (45) получаем последовательность задач Коши
Отсюда находим
Следующие приближения имеют вид
где Найдем внешнее разложение. Для членов внешнего разложения получаем уравнения
Нулевое приближение есть
Далее,
Отсюда находим
где
с точностью до членов порядка
с точностью до
с точностью до
Следовательно,
Окончательно получаем
и аналогично для у. Процедуру сращивания, очевидно, можно продолжить. Обратим внимание на два важных факта. Во-первых, после того, как сращены компоненты х, компоненты у сращиваются сами собой. В данном примере можно привести элементарное объяснение. Дело в том, что построенные асимптотические разложения можно дифференцировать и В данном примере мы получили два разложения: одно в области
и аналогично для у. Для задачи (32) можно не искать отдельно внешнее и внутреннее разложения, а искать разложение решения в виде
где все слагаемые — асимптотические ряды по степеням Вернемся к системе (32). Можно показать, что члены
где уже доказав, установим его при
Так как
Далее,
Ограничимся случаем, когда х, у — скалярные функции; тогда получим
Итак, задача свелась к исследованию асимптотики интеграла
где дифференцировать. Интегрируя по частям, получаем
При
Внеинтегральные подстановки при
где
т. е. формулу (56) при Проведем сращивание внешнего и внутреннего разложений в первом приближении. При этом достаточно срастить только компоненты х. В области
с точностью до членов высшего порядка малости. Нетрудно видеть, Вектор-функции
В силу условия (39) матрица Якоби
Мы получили задачу Коши для линейной системы уравнений, решение которой существует и единственно при О После того как найдена вектор-функция Аналогично устроены уравнения для высших приближений. Они имеют вид
где
Для Пример 9. Рассмотрим краевую задачу
Предельное уравнение условиям. Возможны два подхода к построению асимптотики решений. 1°. Зададим при
В этом примере концы отрезка
(точка — производная по 2°. Будем искать решение в виде, аналогичном (55):
Функция
Подставляя в уравнение, получаем
Функция x будет удовлетворять уравнению, если каждая из функций
Зададим граничное условие
Тем самым все функции
Для функций пограничного слоя получаем уравнения
Граничные условия для функции
Второе из этих условий необходимо для того, чтобы выполнялось граничное условие
При
Далее,
и из условия
Найдем
Из условия
Аналогично вычисляются высшие приближения. Справедливо асимптотическое разложение
равномерное по
Рассмотрим более общую краевую задачу
Здесь возможны более сложные ситуации, чем в примере 9. Могут возникнуть пограничные слои вблизи обоих концов отрезка, может возникнуть пограничный слой внутри отрезка. Примеры такого рода см. в [14], [29], [37]. Но в целом методы исследования такие же — построение разных асимптотических разложений в разных областях и сращивание этих разложений.
|
Оглавление
|