5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений.

В предыдущих разделах рассматривались уравнения, в которые малый параметр входит регулярно. Исследуем простейший случай сингулярной зависимости от параметра.

Пример 6. Рассмотрим задачу Коши

на полуоси где постоянная, — малый параметр. При уравнение вырождается и его

решение есть Выясним, при каких условиях решение задачи Коши будет стремиться к решению предельной задачи. Имеем

Возможны варианта.

1. а > 0. В этом случае

при всех Решение равномерно стремится к решению предельной задачи всюду, за исключением малого отрезка Разность заметно отлична от нуля лишь на отрезке 1 ширины порядка где сколь угодно мало. Область 1, примыкающая к граничной точке называется пограничным слоем.

Введем переменную (ее принято называть внутренней); тогда получим

Эта функция экспоненциально убывает при Функция вида такая, что при называется функцией типа пограничного слоя (в правой полуокрестности точки ). В данном примере . Заметим, что на границе пограничного слоя, в точке мы имеем

2. а < 0. В этом случае

при и решение задачи Коши не стремится к решению предельной задачи.

Рассмотрим задачу Коши для автономного уравнения второго порядка

на отрезке [0, Т], Заменим уравнение системой

и рассмотрим автономную систему более общего вида:

где есть -вектор, у есть -вектор: При первое уравнение вырождается и имеет вид

Будем предполагать, что это уравнение имеет решение

где — гладкая вектор-функция при всех х из некоторой области. Вообще говоря, уравнение (33) может иметь не один, а несколько таких корней фиксируем один из них. Подставляя выражение (34) для у во второе из уравнений (32), получаем задачу Коши

Будем предполагать, что решение этой задачи существует и единственно при

Таким образом, предельная задача имеет решение

Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет начальному условию так как значение не обязано совпадать с Выясним, при каких условиях справедлив предельный переход

вне сколь угодно малой окрестности граничной точки Вблизи этой точки обязательно будет иметься пограничный слой. Для наглядности будем считать, что так что система (32) состоит из двух скалярных уравнений. Пусть корень — изолированный. Это означает, что в некоторой окрестности кривой функция не обращается в нуль, но, вообще говоря, могут существовать и другие кривые, определяемые уравнением . В дальнейшем точка лежит в области Векторное поле автономной

системы (32) имеет вид

На кривой оно горизонтально а во всех остальных точках почти вертикально, так как мало. Если векторы направлены к у (рис. 46), то фазовая траектория с началом в любой точке будет при приближаться к кривой Кривая как бы притягивает фазовые траектории. В противном случае фазовые траектории будут уходить — отталкиваться от 4. Если Т — притягивающая траектории кривая и если начальная точка лежит в зоне притяжения, то имеет место предельный переход (36) всюду, кроме малого отрезка пограничного слоя. Найдем условия на функцию при которых кривая — притягивающая. Пусть — близкая точка; тогда

Рис. 46.

Вектор направлен к если

Итак, корень предельного уравнения должен быть притягивающим для того, чтобы при выполнялись соотношения (36).

Выясним поведение решений вблизи граничной точки Сделаем замену переменной тогда получим систему

Полагая находим в первом приближении, и остается система

Точка -положение равновесия этой системы. На границе пограничного слоя имеем (пример 6)

и чтобы решение стремилось к решению необходимо выполнение условия

Для этого достаточно, чтобы положение равновесия было асимптотически устойчивым и точка лежала в зоне притяжения этого положения равновесия. Если система (35) состоит из двух скалярных уравнений, то из условия (37) следует асимптотическая устойчивость положения равновесия.

После этих пояснений можно точно сформулировать условия, достаточные для существования предельного перехода (36). Пусть — ограниченные области пространствах соответственно, — замыкание области Как обычно, требуется непрерывная дифференцируемость вектор-функций в D.

1°. Уравнение имеет решение вектор-функция определена и непрерывно дифференцируема в Уравнение определяет многообразие 7 размерности в пространстве

2°. Корень изолированный, т. е. существует такое, что если

3°. Задача Коши

имеет решение при и притом единственное. При этом точки фазовой траектории лежат внутри области

Рассмотрим систему (38)

которая называется присоединенной. В этой системе переменные фиксированы и играют роль параметров. При каждом точка есть положение равновесия системы (38).

4°. Положение равновесия асимптотически устойчиво при каждом фиксированном

Пусть — собственные значения матрицы Якоби В силу теоремы Ляпунова (гл. 4,

§ 8) условие 4° выполнено, если

при

Рассмотрим задачу Коши для присоединенной системы

где - данные Коши для системы (32). Точка может находиться, вообще говоря, далеко от точки покоя и решение задачи (40) может не стремиться к этой точке при

5°. Пусть решение задачи Коши (40). Тогда

и точки вида лежат в области при

В этом случае говорят, что начальное данное принадлежит области влияния положения равновесия Из условия 4° следует, что если точка лежит достаточно близко к многообразию у: то она притягивается к у и условие 5° выполняется.

Пусть условия выполнены и достаточно мало. Тогда при решение задачи Коши (35) существует на отрезке , единственно и

Это частный случай теоремы Тихонова, которая охватывает и неавтономные системы (см. [14], [49]).

Пример 7. Рассмотрим задачу Коши

при где — гладкие при всех х функции, . Заменим уравнение эквивалентной ему системой

Из предельного уравнения находим

так что решение определяется соотношением

Рассмотрим два варианта.

А. . Тогда интеграл есть монотонно возрастающая функция х, и решение существует и единственно на отрезке ,

Тогда интеграл есть монотонно убывающая функция х, и решение существует и единственно на отрезке [0, 71.

Таким образом, условия выполнены. Рассмотрим присоединенное уравнение

Положение равновесия — точка Если то решение экспоненциально убывает (растет) при Поэтому условие 4° принимает вид

Покажем, что условие выполняется. Действительно,

и

Итак, окончательные условия таковы: если если Тогда справедливы предельные переходы (41), где Т определяется формулой

Найдем асимптотику решения задачи Коши (35), при условиях Условие 4° заменим более жестким условием (39). Мы приведем не самый короткий алгоритм (по этому поводу см. [14]) с тем, чтобы на этом примере продемонстрировать метод сращивания асимптотических разложений. Алгоритм построения асимптотики для вектор-функций х, у точно такой же, как и для скалярных функций, и читатель для удобства может считать, что х, у — скалярные функции.

Введем две области: А — отрезок — отрезок Число а фиксировано, мы увидим, что может быть выбрано сколь угодно малым. Область называется внутренней, область — внешней, и их пересечение непусто. Переменную принято называть внешней, переменную — внутренней. В области имеем

Общая схема метода сращивания (пригодная и для многих других задач) такова. Для искомого решения строятся два разных асимптотических разложения: одно в области другое — в области Первое называется внутренним, второе — внешним. Так как оба они — разложения одной и той же функции, то обязаны совпадать (сращиваться) в пересечении т. е. при Это условие совпадения (сращивания) разложений и позволяет последовательно найти члены асимптотических разложений решения.

Внутреннее разложение будем искать в виде асимптотических рядов

где Это разложение обязано удовлетворять данным Коши (32), так что

Внешнее разложение будем искать в виде асимптотических рядов

Существование асимптотических разложений вида (45)-(47) следует из теоремы Тихонова. Построим внутреннее разложение. После замены система (32) примет вид

Подставим в эту систему разложение (45), разложим правые части по степеням приравняем коэффициенты при степенях . Тогда получим рекуррентную последовательность задач Коши, первая из которых есть

Отсюда находим

Уравнение для — это присоединенное уравнение (38), решение которого существует и единственно при Итак, вектор-функции однозначно определены. В силу условия 5° имеем

и, более того,

Следующая задача Коши такова:

значения взяты в точке Следовательно,

Подставляя это выражение в первое из уравнений (50), получаем для линейную неоднородную систему,

решение которой существует и единственно при Тем самым однозначно определены вектор-функции

Покажем, что все члены внутреннего разложения однозначно определяются и существуют на полуоси Уравнения для приближения имеют вид

где известные вектор-функции от Такая структура уравнения для обусловлена тем, что уравнение для х содержит множитель в правой части (см. (48)). Отсюда находим

подставляем в первое из уравнений (52) и получаем линейную неоднородную систему для определения Итак, все члены внутреннего разложения (45) однозначно определены.

Построим внешнее разложение. Подставим разложение (47) в (35), разложим правые части по степеням и затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Тогда получим рекуррентную последовательность систем уравнений, первая из которых есть

Для зададим начальные данные . Мы видим, что для получается задача (33), (35), и в силу усло вий она имеет решение где

Это решение существует и единственно при . Следующая система уравнений есть

Чтобы выделить единственное решение, необходимо задать начальные условия для Эти условия автоматически возникают при сращивании внешнего и внутреннего разложений. Так как оба разложения — асимптотические для одного и того же решения, то они обязаны совпадать в пересечении т. е. на отрезке Начнем с нулевых приближений. Должны выполняться соотношения

Первое из них выполняется, так как Далее, по построению решения

а в силу условия 5°

Таким образом, сращивание разложений в нулевом приближении происходит «автоматически» — оно гарантируется условием 5°. Мы можем написать, что

и аналогично для у. Итак, в первом приближении имеем

с точностью до слагаемых порядка

Чтобы найти члены следующего приближения необходимо исследовать асимптотику функций пограничного слоя при Это не очень сложная, но достаточно громоздкая задача, и прежде чем ее решить, мы продемонстрируем метод сращивания на конкретном примере.

Пример 8. Рассмотрим задачу Коши

при где постоянные. Из примера 7 следует, что все условия выполняются. Заменим уравнение системой

Найдем внутреннее разложение. Полагая получаем систему

Для членов внутреннего разложения (45) получаем последовательность задач Коши

Отсюда находим

Следующие приближения имеют вид

где — многочлены от степени не выше, чем

Найдем внешнее разложение. Для членов внешнего разложения получаем уравнения

Нулевое приближение есть

Далее, можно выразить через так что

Отсюда находим

где — неизвестная постоянная. Определим С из условия сращивания внутреннего и внешнего разложений. В области имеем

с точностью до членов порядка . В этой области функция есть при любом так что члены внутреннего разложения, содержащие экспоненты, можно отбросить. Следовательно,

с точностью до Члены внешнего разложения разложим по степеням и затем заменим на т. е. перейдем к внутренней переменной. Тогда получим

с точностью до Чтобы внешнее и внутреннее разложения совпадали в области , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Следовательно,

Окончательно получаем

и аналогично для у. Процедуру сращивания, очевидно, можно продолжить.

Обратим внимание на два важных факта. Во-первых, после того, как сращены компоненты х, компоненты у сращиваются сами собой. В данном примере можно привести элементарное объяснение. Дело в том, что построенные асимптотические разложения можно дифференцировать и Поэтому, если совпадают разложения функции то совпадают разложения ее производной. Во-вторых, в области мы срастили члены порядка а члены порядка более быстро растущие при срастились сами собой. Оба эти факта — следствия теоремы Тихонова, которая гарантирует существование асимптотических разложений

В данном примере мы получили два разложения: одно в области другое в области Можно получить разложение, пригодное на всем отрезке . Для этого достаточно сложить оба эти разложения и вычесть их. общую часть. Тогда получим

и аналогично для у. Для задачи (32) можно не искать отдельно внешнее и внутреннее разложения, а искать разложение решения в виде

где все слагаемые — асимптотические ряды по степеням экспоненциально убывают при Этот метод изложен в монографии [14]; мы продемонстрируем его в примере 9.

Вернемся к системе (32). Можно показать, что члены имеют такую же структуру, как и в примере 8, т. е.

где — многочлены степени к. При этот факт

уже доказав, установим его при Имеем из (49), (51)

Так как то интегралы сходятся, а последний интеграл имеет порядок при Следовательно,

Далее,

Ограничимся случаем, когда х, у — скалярные функции; тогда получим

Итак, задача свелась к исследованию асимптотики интеграла Имеем

где при Более того, известно, что асимптотику функций можно.

дифференцировать. Интегрируя по частям, получаем

При имеем

Внеинтегральные подстановки при становятся экспоненциально малыми после умножения на Далее,

где при Поэтому последний интеграл в формуле (56) после умножения на будет иметь порядок Окончательно получаем

т. е. формулу (56) при

Проведем сращивание внешнего и внутреннего разложений в первом приближении. При этом достаточно срастить только компоненты х. В области имеем

с точностью до членов высшего порядка малости.

Нетрудно видеть, условие сращивания есть

Вектор-функции — решения системы (53). Выразим через из первого уравнения

В силу условия (39) матрица Якоби невырождена при Подставляя полученное выражение для во второе из уравнений (53), находим

Мы получили задачу Коши для линейной системы уравнений, решение которой существует и единственно при О После того как найдена вектор-функция вектор-функция определяется однозначно.

Аналогично устроены уравнения для высших приближений. Они имеют вид

где известные вектор-функции, которые выражаются через Значения производных от и берутся в точке Из первого уравнения выражаем через и подставляем во второе. Тогда

Для получаем линейную систему, матрица которой одиа и та же при всех Начальное условие находится при сращивании внешнего и внутреннего разложений. Тем самым вектор-функция однозначно определяется и существует при а затем однозначно определяется

Пример 9. Рассмотрим краевую задачу

Предельное уравнение — первого порядка, и его решение не может удовлетворять обоим граничным

условиям. Возможны два подхода к построению асимптотики решений.

1°. Зададим при дополнительное начальное условие , где — неизвестная функция. Из примера 7 следует, что можно построить асимптотику решения полученной задачи Коши, пригодную при После этого функция определится из уравнения

В этом примере концы отрезка неравноправны. Действительно, после замены переменной получаем

(точка — производная по и условия из примера 7 не выполняются (здесь ). Поэтому решение, имеющее вид пограничного слоя вблизи точки не существует.

2°. Будем искать решение в виде, аналогичном (55):

Функция удовлетворяет краевому условию при функция — краевому условию при и является функцией типа пограничнрго слоя. Обе эти функции разлагаются в асимптотические ряды по степеням

Подставляя в уравнение, получаем

Функция x будет удовлетворять уравнению, если каждая из функций удовлетворяет своему уравнению;

Зададим граничное условие Подставляя в эти уравнения разложения функции , получаем

Тем самым все функции определяются однозначно. Первые три из них равны

Для функций пограничного слоя получаем уравнения

Граничные условия для функции таковы:

Второе из этих условий необходимо для того, чтобы выполнялось граничное условие Следовательно,

При имеем

Далее,

и из условия получаем, что Следовательно,

Найдем Имеем

Из условия находим а из граничного условия находим Следовательно,

Аналогично вычисляются высшие приближения. Справедливо асимптотическое разложение

равномерное по где любое [14]. Первые члены разложения равны

Рассмотрим более общую краевую задачу

Здесь возможны более сложные ситуации, чем в примере 9. Могут возникнуть пограничные слои вблизи обоих концов отрезка, может возникнуть пограничный слой внутри отрезка. Примеры такого рода см. в [14], [29], [37]. Но в целом методы исследования такие же — построение разных асимптотических разложений в разных областях и сращивание этих разложений.