Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Метод Крылова — Боголюбова.

Сначала рассмотрим уравнение (8). Если то всякое решение имеет вид

где — постоянные, так что

Первое приближение возьмем в виде

где функции удовлетворяют системе

и эти ряды — асимптотические. Функция описывает колебания с медленно меняющимися амплитудой а и частотой Имеем

Все последующие выкладки будем проводить только о точностью до слагаемых порядка Имеем

Поэтому

Будем искать решение уравнения (8) в виде асимптотического ряда

где — периодические по переменному функции с периодом

Тогда функция разлагается в ряд Фурье

Потребуем, чтобы выполнялось условие:

функции при не содержат первой гармоники (т. е. коэффициенты при созф и равны нулю).

Смысл этого условия мы поясним ниже.

Получим первые два уравнения. Пусть тогда

Нам необходимо вычислить производную только с точностью до членов порядка а производную с точностью до членов порядка 1, так что

Далее

где значения производных функции взяты в точке

Приравнивая в уравнении (8) коэффициенты при получаем уравнение

Это уравнение имеет вид

где — периодическая с периодом функция. Такое уравнение имеет -периодическое решение тогда и только тогда, когда

так что

Тем самым мы нашли функции Далее,

и из уравнения (18) однозначно определяются все коэффициенты кроме По условию,

так что

Уравнение для второго приближения имеет вид

что было показано в гл. 3, § 7, пример 4. Покажем это по-другому. Разложим функцию в ряд Фурье;

Все решения уравнения (19) даются формулой

где — частные решения уравнений

Если то эти решения -периодичны;

Если

и уравнение (19) не имеет -периодических решений, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Вернемся к уравнению (18). Разложим функцию в ряд Фурье:

Правая часть уравнения (18) не должна содержать Разложим правую часть в ряд Фурье. Приравняв нулю коэффициенты при получим систему уравнений для функций , кроме того, однозначно определим функцию

Уравнения для высших приближений имеют вид

где — известные функции, -периодические по переменному Из условий

получим систему уравнений для функций и затем однозначно определим функцию

С каждым шагом вид функций сильно усложняется. В большинстве конкретных задач бывает достаточно ограничиться вычислением двух-трех первых приближений. Приведем примеры.

Пример 4. Рассмотрим уравнение Дуффинга (7). Для первого приближения получаем уравнение

Так как то из условия отсутствия гармоник в правой части получаем

Тогда уравнение принимает вид

и его решение, не содержащее гармоник равно

Уравнение для второго приближения имеет вид

Так как

то, приравнивая нулю коэффициенты при и получаем Далее

Окончательно получаем

Функции а, имеют вид

В этом примере амплитуда а почти постоянна, а фаза пропорциональна времени

Пример 5. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля со слабой нелинейностью:

Имеем

Следовательно,

Далее,

Следовательно,

Найдем амплитуду а и фазу Имеем

и, отбрасывая остаточный член, получаем

где — постоянная.

Из уравнения

находим

где — постоянная. Первое приближение имеет предельный цикл — окружность радиуса 2 с центром в начале координат, причем при фазовая траектория с экспоненциальной скоростью приближается к этому циклу.

Сравнение данного примера с примером 3 показывает, насколько более точный результат получен здесь.

Можно показать, что если взять отрезок ряда (14)

то при всех справедлива оценка

где постоянная не зависит от и е. Следовательно, функция приближенно (с точностью до равна истинному решению на большом отрезке времени Доказательство см. в [9].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление