Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод Линдштедта — Пуанкаре.

Будем искать периодические решения автономного уравнения

Как было показано в разложения вида (3) не обладают свойством периодичности. Сущность метода Линштедта — Пуанкаре состоит в том, что вместо переменной вводится новая переменная

и это позволяет избавиться от вековых (секулярных) членов. Будем искать решение в виде асимптотического

ряда

где все функции периодичны по с периодом Переходя в уравнении (8) к переменной получаем

Разложим обе части этого уравнения по степеням и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е. Тогда получим рекуррентную систему уравнений, и неизвестные числа определятся из условия отсутствия секулярных членов.

Первое уравнение имеет вид

так что Зададим данные Коши

Тогда получим

Следующее уравнение имеет вид

Функция периодична по с периодом разложим ее в ряд Фурье

Уравнение (11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда правая часть не содержит гармоник . Следовательно, должны выполняться условия

Из этих уравнений находим неизвестные В частности, начальная амплитуда а, вообще говоря, не может быть произвольной. Затем находим решая

уравнение (11) с данными Коши

Таким образом, чтобы найти первое приближение, необходимо рассмотреть второе приближение — это весьма типично для нелинейных задач. Ситуация повторяется и для высших приближений: чтобы найти приближение, необходимо рассмотреть правую часть уравнения для приближения. Приведем примеры.

Пример 2. Рассмотрим уравнение Дуффинга (7) с данными Коши тогда и для получаем уравнение

Приравнивая нулю коэффициент при в правой части уравнения, находим

и затем

Начальная амплитуда а может быть произвольной — это специфика данного уравнения. Найдем второе приближение. Имеем

где А, В — постоянные. Отсюда находим Таким образом,

Период колебаний равен

Из этой формулы видно, что период колебаний зависит от амплитуды.

Пример 3. Рассмотрим уравнение Ван дер Поля с малой нелинейностью

Первое приближение снова возьмем в виде

тогда

Секулярные члены исключаются, если

Следовательно, и если выбрать а положительным, то Таким образом, в первом приближении сдвига частоты колебаний нет, но амплитуда а определяется однозначно. Окончательно получаем

так что в первом приближении можно утверждать, что уравнение Ван дер Поля имеет предельный цикл — окружность радиуса 2 с центром в начале координат.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление