Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра

1. Осциллирующие решения.

Рассмотрим уравнение

где — параметр, на конечном отрезке . Исследуем асимптотическое поведение решений при к Введем предположения:

1°. непрерывна при

Теорема 1. Если условия 1°, 2° выполнены, то уравнение (1) имеет решения вида

Для функций справедливы оценки

где постоянная С не зависит от .

Асимптотику (2) можно дифференцировать, т. е.

Для функций имеют место оценки вида (3).

Доказательство. Воспользуемся теоремой 1 из § 2. В данном случае положим Далее (см. (3), (9) из § 2)

при так как функция непрерывна. Следовательно,

где фиксировано, и из теоремы 1 § 2 следует существование решения у такого, что

при

где то решение постоянным множителем отличается от искомого решения (см. (2)). Формула (4) для производной следует из

(16), § 2. Аналогично доказывается существование решения Вронскиан этих решений равен, как следует из (3), (4):

и потому решения линейно независимы, если достаточно велико.

Следствие. Пусть к комплексно и лежит в области Тогда все заключения теоремы 1 остаются в силе.

Для доказательства достаточно проверять, что выполняется предположение 2 из § 2, т. е. что можно выбрать ветвь такую, что Имеем

Обозначим полученные решения и пусть -область в комплексной плоскости Положим тогда при и потому существуют решения для которых справедливы формулы

Отметим, что эти пары решений вообще говоря, различны.

Замечание. Можно показать, что решения аналитичны по при каждом фиксированном

Пусть тогда вместо решений можно взять пару вещественных решений:

Здесь равномерно по где С не зависит от При больших значениях А решения сильно осциллируют. Если два соседних нуля любого из этих решений, то

так что расстояние между соседними нулями имеет порядок

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление