Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Оценка решений.

Если в системе (5) отбросить члены, содержащие то система распадется на два независимых уравнения. Укороченная система имеет решения

где обозначено

Покажем, что при условиях, которые будут сформулированы ниже, система (5) имеет решения, близкие к Тогда, воспользовавшись соотношениями (4), получим приближенные формулы для решений уравнения (1),

Обозначим

Предположение 2. Существует дважды непрерывно дифференцируемая при ветвь корня такая, что

Во всех последующих формулах фигурирует именно эта ветвь.

Замечание. Если функция вещественна, то предположение 2 следует из условия: Пусть искомая ветвь есть Если же то — чисто мнимое число, и в качестве искомой ветви можно взять

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1, 2 и

Тогда уравнение (1) имеет решение такое, что

Эта и последующая теоремы — основные в настоящей главе. Все дальнейшие асимптотические формулы будут выведены из оценок (11), (19).

Доказательство. Подстановка

приводит систему (5) к виду

Решим эту систему, считая правые части известными функциями; тогда получим систему интегральных уравнений

Положим тогда получим систему

Покажем; что на интервале по которому ведется интегрирование, выполняется оценка

Действительно, при и так как то

откуда следует (13).

Применим метод последовательных приближений к системе (12), положив

Имеем

Последняя оценка следует из (13). Покажем по индукции, что

При оценка доказана; совершим переход индукции от Имеем

так как Точно так же доказывается оценка (14) при в этом случае необходимо учесть оценку (13).

Рассмотрим ряды

Из оценки (14) и условия (10) следует, что эти ряды сходятся абсолютно и равномерно на любом интервале вида и что

Из (4) находим так что

и из (15) следует (11).

Получим оценку для Из соотношения (см. (4))

из оценки (15) вытекает

Следствие 1. Справедлива оценка

Сравнивая (11), (16) и учитывая, что при , получаем

Следствие 2. Решение удовлетворяет краевому условию

если

Построим решение Точно так же, как и теорема 1, доказывается

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 с той лишь разницей, что

Тогда уравнение (1) имеет решение такое, что

Далее, выполняются оценки

и краевое условие

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление