2. Необходимые условия экстремума.
Рассмотрим задачу оптимального управления (1), (2), (3). Введем функцию Понтрягина
где
— число,
— скалярное произведение
Переменные
называются импульсами. Наряду с функцией Н рассмотрим функцию
Импульсы
удовлетворяют системе уравнений
откуда следует, что
где
— постоянные. Так как
то
т. е. максимум достигается при
Следовательно, оптимальное управление
— кусочно постоянная функция, принимающая значения
Если
то из системы (15) находим
-
-так что фазовая траектория — дуга параболы
где с — постоянная. При
уравнение фазовой траектории имеет вид
где с — постоянная. По параболам (16) точка движется снизу вверх, так как
а по параболам
сверху вниз, так как
. Поскольку функция
линейная, то она имеет не более одного нуля; следовательно,
— кусочно постоянная функция, имеющая не более двух интервалов постоянства. Рассмотрим кривую состоящую из двух «половинок» парабол вида (16), (17), проходящих через начало координат:
Если начальная точка
лежит на
то либо
либо 1 (при 20), и искомая фазовая траектория — дуга кривой y Если начальная точка
лежит выше кривой
то вначале
и точка движется по параболе вида (17) до точки ее пересечения с у. Затем происходит «переключение», т. е.
становится равным 1 и точка движется по кривой к началу координат. Аналогично исследуется случай, когда точка
лежит, ниже кривой у.
Согласно принципу максимума, только описанные выше траектории могут быть оптимальными. В этом примере
для каждой начальной точки такая траектория существует и единственна. Но тот факт, что она реализует минимум функционала, нуждается в проверке. Сформулируем теорему, которая позволяет осуществить эту проверку. Рассмотрим задачу о линейных оптимальных быстродействиях: система (1) имеет вид.
Здесь А, В — постоянные матрицы порядков
соответственно. Пусть область управления
— замкнутый ограниченный выпуклый многогранник,
вектор, направление которого совпадает с направлением одного из ребер многогранника
Требуется, чтобы векторы
были линейно независимы.
Теорема [42]. Если для процесса, который описывается системой (18), существует допустимое управление, переводящее точку х из точки
в точку то существует и оптимальное управление.
В рассмотренном выше примере (см. (15)) допустимое управление, переводящее точку
в точку
, существует. Многогранник
есть отрезок
так что IV — скаляр,
Имеем
(эти векторы — столбцы), так что
— линейно независимые векторы, и в силу теоремы построенные в примере управления являются оптимальными.