Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Принцип максимума Понтрягина

1. Постановка задач оптимального управления.

Пусть имеется некоторый объект, состояние которого к момент времени определяется заданием вектор-функции Предполагается, что движением объекта можно управлять: управляющие параметры обозначим Движение объекта

описывается системой дифференциальных уравнений

или в векторной форме

Примером управляемого объекта может служить любое транспортное средство (автомобиль, поезд и т. д.); его движение описывается уравнениями классической механики, но помимо внешних сил (сила земного тяготения, силы трения и т. п.) на него действуют также силы, управляемые человеком.

Рассмотрим функционал

и задачу с закрепленными концами

Задача оптимального управления состоит в отыскании минимума функционала (2) при условиях (1), (3), но для ее точной постановки необходимо еще описать класс допустимых управлений.

Будем предполагать, что управляющие параметры меняются в некотором замкнутом ограниченном множестве в пространстве Примером такого множества может служить -мерный параллелепипед Эти ограничения накладываются самим существом задачи (например, мощность двигателя не может превосходить некоторой величины:

Предположение. Функции и их частные производные по перемененным , непрерывны при

Допустимым управлением называется вектор-функция и (0 со значениями в множестве которая кусочно, непрерывна при Это означает, что имеется не более конечного числа точек разрыва вектор-функций

и при и в каждой точке разрыва существуют конечные пределы слева и справа:

Вектор-функция предполагается непрерывной и кусочно гладкой при

Основная задача оптимального управления формулируется следующим образом: среди всех допустимых управлений и найти такое, для которого функционал принимает наименьшее возможное значение, при условиях (3). Пара на которой достигается этот минимум, называется оптимальным процессом.

По внешнему виду эта задача близка к задаче Лагранжа (см. § 10, (5), (7), (3)). Но имеются следующие важнейшие различия: множество — не открытая область, как в § 10, а замкнутое ограниченное множество, и допустимые управления — не гладкие, а кусочно непрерывные вектор-функции. Уже простейшие примеры показывают, что оптимальное управление может не быть непрерывным.

Важным примером задачи оптимального управления является задача о быстродействии. Пусть заданы две точки Требуется за наименьшее время перевести объект из точки в точку . В этом случае так что Это не задача с закрепленными концами: начальное и конечное времена не фиксируются; они зависят от выбора управления

Теория оптимального управления была создана в конце пятидесятых годов нашего столетия. В этом параграфе приведены некоторые из основных результатов этой принадлежащие Л. С. Понтрягину и его ученикам и изложенные в монографии

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление