Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Задача с подвижными концами.

Рассмотрим функционал вида (1), зависящий от одной неизвестной функции и поставим задачу об отыскании его минимума при условии, что один конец кривой фиксирован: а второй лежит на заданной гладкой кривой При этом верхний предел интегрирования в формуле (1) не фиксирован.

Пусть — экстремаль поставленной задачи и второй конец. Тогда точка минимума

задачи с закрепленными концами: и потому удовлетворяет уравнению Эйлера и краевому условию Найдем краевое условие на втором конце кривой. Дадим приращение и рассмотрим приращение функционала:

где многоточием обозначены бесконечно малые высшего порядка. Из тождества

следует, что где — бесконечно малая, и окончательно получаем следующую формулу для первой вариации функционала

Мы учли, что удовлетворяет уравнению Эйлера. Краевое условие на втором конце кривой принимает вид

и называется условием трансверсальности. Это условие можно представить в иной форме. Введем импульс и функцию Гамильтона (см. (13), (15)) и заметим, что вектор касается кривой у. Условие (20) означает, что вектор ортогонален , т. е. что вектор ортогонален кривой в точке . В такой форме условие трансверсальности легко обобщается на мн его мерный случай.

Рассмотрим функционал (1), где вектор-функция, и поставим задачу об отыскании минимума этого функционала при условии, что один конец кривой закреплен: а второй лежит на гиперповерхности к в пространстве заданной уравнением

Введем аналогично (13), (15) импульсы и функцию Гамильтона условие трансверсальности означает, что в точке (т. е. на втором конце экстремали) вектор ортогонален к Поскольку вектор ортогонален к в указанной точке, то он коллинеарен вектору и условия трансверсальности можно записать в виде

Условие трансверсальности в указанной выше форме сохраняется и в том случае, когда второй конец кривой у лежит не на гиперповерхности, а на многообразии меньшей размерности. Рассмотрим следующий пример: пусть причем фиксированы значение и точки значение не задается. Это означает, что второй конец экстремали лежит на прямой I в пространстве заданной уравнениями в этом случае условие трансверсальности имеет вид

так как направляющий вектор прямой I равен

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление