Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Уравнение колебаний мембраны.

Выведем это уравнение из принципа наименьшего действия (§ 5). Составим функцию Лагранжа где Т — кинетическая, — потенциальная энергия мембраны. Пусть отклонение точки мембраны от положения равновесия в момент времени Тогда

где — плотность мембраны, интеграл берется по области занимаемой мембраной. Вычислим Мембрана — это бесконечно тонкая пленка, которая не сопротивляется изгибу, но сопротивляется растяжению, причем ее потенциальная энергия пропорциональна приращению площади мембраны. Следовательно,

где многоточием обозначены члены более высокого порядка малости. Мы рассматриваем малые колебания мембраны, т. е. величины их, малы при всех тогда

и задача о колебаниях мембраны сводится к отысканию экстремума функционала

Уравнение Эйлера (4) принимает вид

где Это и есть уравнение малых свободных колебаний мембраны (волновое уравнение).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление