Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Принцип наименьшего действия.

Сформулируем этот принцип на простейшем примере. Пусть материальная точка массы движется в трехмерном пространстве в потенциальном силовом поле, и — положение точки в момент времени Введем функцию Лагранжа — разность между кинетической и потенциальной энергией:

Таким образом

Интеграл

называется действием. Действие есть функционал вида (1):

зависящий от вектор-функции Зададим значение в начальный и конечный моменты времени:

Принцип наименьшего действия утверждает: материальная точка движется по такой траектории, которой отвечает наименьшее действие.

Иначе говоря, траектория движения материальной точки — это та из множества всех кривых

соединяющих точки которая дает минимум функционалу так что

Выведем уравнения движения из принципа наименьшего действия. Для зтого достаточно написать систему уравнений Эйлера (4) для функционала Она имеет вид

или

Это классические уравнения Ньютона.

Строго говоря, принцип наименьшего действия в сформулированной выше форме неверен. Точная его формулировка такова: траектория движения точки есть стационарное значение действия, на траектории. Правильнее было бы говорить: принцип стационарного действия. Но поскольку термин «принцип наименьшего действия» является общепринятым, мы будем его придерживаться.

Принцип наименьшего действия справедлив и для механической системы, состоящей из точек. Пусть их массы равны ти координаты в момент времени равны и система обладает потенциальной энергией Тогда функция Лагранжа равна

Действие определяется по формуле (7), и уравнения движения имеют вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление