Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Функционалы, зависящие от высших производных

Рассмотрим функционал вида

и задачу с закрепленными концами:

Предположение. Функция и раз непрерывно дифференцируема по совокупности переменных, если

Выведем формулу для первой вариации функционала (1). Имеем

гда , если на отрезке Следовательно,

Допустимые приращения это функции, раз непрерывно дифференцируемые на отрезке и

удовлетворяющие, в силу (2), краевым условиям

Интегрируя по частям и учитывая краевые условия (3), получаем

при Поэтому первая вариация имеет вид

Пусть — экстремаль задачи (1), (2), тогда для любых допустимых приращений Из (4) и основной леммы вариационного исчисления вытекает уравнение Эйлера

Значения всех производных функции берутся в точке Следовательно, экстремаль должна удовлетворять уравнению Эйлера (5) и краевым условиям (2).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление