Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Простейшие задачи вариационного исчисления

1. Задача с закрепленными концами.

Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала

при условиях

где А, В — заданные числа. Экстремум ищется в классе функций (слабый экстремум).

Геометрическая интерпретация этой задачи такова: среди всех (гладких) кривых соединяющих заданные точки и (рис. 42), найти ту (те), на который функционал достигает экстремума. Эта задача называется задачей с закрепленными концами или простейшей задачей вариационного исчисления.

Рис. 42.

Функция на которой функционал достигает экстремума, называется экстремалью.

Предположение. Функция дважды непрерывно дифференцируема, если

Дадим функции приращение т. е. рассмотрим Допустимые приращения Их) таковы:

Последнее следует из того, что концы кривой закреплены: так что и аналогично Первая вариация функционала дается формулой (4), § 2. Интегрируя по частям:

и учитывая (3), получаем

где значения берутся в точке

Лемма (основная лемма вариационного исчисления). Пусть функция непрерывна на отрезке и пусть

для любой функции , удовлетворяющей условиям (3). Тогда

Доказательство. Допустим, что , тогда существует точка такая, что ; пусть для определенности. Тогда существует окрестность точки такая, что Можно считать, что лежит внутри интервала Построим функцию такую, что

Функция

удовлетворяет условиям (6). Имеем

так как при Это противоречит условию (6) леммы; следовательно,

Замечание. Лемма остается в силе, если условие (6) выполнено для более узкого класса функций а именно: функция имеет непрерывных производных при Действительно, как видно из доказательства леммы, достаточно построить раз непрерывно дифференцируемую функцию удовлетворяющую условию (6). В качестве такой функции можно взять, например,

Теорема 1. Пусть — экстремаль задачи с закрепленными концами (2) для функционала Тогда

удовлетворяет уравнению Эйлера

Доказательство. Если — экстремаль, то для любых допустимых приращений . Первая вариация имеет вид (5), и из основной леммы вариационного исчисления следует (8).

Уравнение Эйлера (8) — это дифференциальное уравнение второго порядка. Действительно,

и уравнение Эйлера имеет вид

Случай мы не рассматриваем.

Замечание. Пусть функция не зависит от Тогда уравнение Эйлера имеет первый интеграл

В этом важном частном случае интегрирование уравнения Эйлера приводится к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление