Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений

1. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим уравнение

Предположение 1. Коэффициенты и правая часть уравнения (1) непрерывно

дифференцируемы в некоторой области на плоскости и

в области

Для обыкновенного дифференциального уравнения задача Коши ставится так:

найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку «а плоскости

Для уравнения с частными производными (1) задача Коши ставится так:

найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую Г в пространстве .

Приведем точную постановку задачи Коши. Пусть на плоскости задана кривая Функции непрерывно дифференцируемы при и

т. е. — гладкая кривая. Зададим на значение функции

т. е.

Предположение 2. Функция непрерывно дифференцируема при

Задача Коши состоит в следующем: требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (3) (т. е. данным Коши, или начальным данным).

Рис. 37.

Пусть Г — кривая в пространстве. Решение задачи Коши — это интегральная поверхность, проходящая через кривую Г (рис. 37). Характеристической системой для уравнений (1) называется система

а ее фазовые траектории называются характеристиками. Отметим, что это определение характеристик не совпадает с приведенным в § 2.

Связь между уравнением (1) и характеристиками устанавливает

Лемма. Вдоль характеристики

Доказательство. Пусть — решение системы (4), тогда

Теорема 1. Пусть кривая у не касается характеристик. Тогда задача Коши (1), (3) однозначно разрешима в некоторой окрестности кривой у.

Рис. 38.

Доказательство. Выпустим из каждой точки кривой у характеристику (рис. 38), т. е. решим семейство задач Коши для системы (4):

где пробегает интервал Пусть

есть решение задачи (4), (6), — соответствующая характеристика. В силу леммы вдоль уравнение (1) принимает вид

т. е. мы получили задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Решая задачу Коши (8), находим функцию Эта функция непрерывно дифференцируема области где некоторый интервал вида Действительно, в силу теорем из § 7 гл. 2 решение задачи Коши (4), (6) непрерывно дифференцируемо по в в силу тех же теорем этим свойством обладает решение задачи (8).

Остается проверить, что функция есть гладкая функция переменных для этого достаточно показать, что из соотношений (7) можно выразить через как

гладкие функции. Якобиан

Действительно, вектор — касательный к 7, вектор — касательный к характеристике и эти векторы неколлинеарны, так как 7 не касается характеристик. Тем самым существование решения задачи Коши доказано.

Допустим, что задача (1), (3) имеет два решения Положим тогда

так что, в силу (8), вдоль характеристики I, имеем

По теореме единственности так что и потому решение задачи Коши единственно.

Это доказательство содержит четкий алгоритм решения задачи Коши (1), (3). Именно, требуется

1°. Построить характеристики, проходящие через кривую 7, т. е. решить семейство задач Коши (4), (6) для характеристической системы.

2°. Решить семейство задач Коши (8), которые элементарно интегрируются.

Этот алгоритм вполне пригоден для численного интегрирования задачи Коши.

Если кривая у касается хотя бы одной из характеристик, то задача Коши (1), (2) может не иметь ни одного решения и может иметь бесконечно много решений.

Пример 1. Всякое решение уравнения имеет вид характеристики — прямые

1°. 7 — окружность Характеристика при пересекает у в двух точках и так как решение не зависит от х, то Если данные Коши на у не обладают этим свойством, то задача Коши не имеет решений.

2°. к — характеристика Выберем данные Коши , где с — постоянная. Тогда задача Коши имеет бесконечно много решений; все они имеют вид где — произвольная гладкая функция такая, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление