Главная > Математика > Обыкновенные дифференциальные уравнения
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Характеристики и интегральные поверхности.

Укажем связь между характеристиками и интегральными кривыми уравнения (5), на примере уравнения с двумя независимыми переменными

Коэффициенты уравнения (9) задают в пространстве векторное поле

Если точка Р лежит на интегральной поверхности то вектор

направлен по нормали к поверхности в точке Р. Уравнение (9) можно записать в виде

т. е. векторы ортогональны. Итак:

1°. Вектор лежит в касательной плоскости к интегральной поверхности.

Очевидно, верно и обратное.

2°. Если поверхность в каждой своей точке Р касается вектора то — интегральная поверхностъ.

Так как и характеристика, и интегральная поверхность, проходящие через точку Р, касаются вектора то интегральная поверхность расслаивается на характеристики. Именно, справедлива

Теорема 2. Если интегральная поверхность содержит точку то она содержит характеристику, проходящую через точку Доказательство. Рассмотрим систему

где и поставим задачу Коши

Пусть - решение этой задачи. Кривая Г:

лежит на интегральной поверхности; покажем, что Г — характеристика. Действительно,

так как — решение уравнения (9).

Пример Характеристическая система имеет вид

так что характеристики

образуют семейство прямых, параллельных вектору . Следовательно, интегральные поверхности — цилиндрические поверхности с образующими, параллельными вектору I.

Первые интегралы (при )

и всякое решение определяется уравнением

Пример 7. . Из характеристической системы

находим

где — произвольные постоянные. Характеристики — лучи, выходящие из точки , так что интегральные поверхности — гладкие коноиды с вершиной в точке Р (ср. пример 3). Первые интегралы имеют вид

всякое решение определяется уравнением

Примере, вектор — ненулевой. Из системы

умножая уравнения последовательно на: и складывая, находим первые интегралы

На характеристике функции постоянны; пересечение плоскости и сферы — окружность, центр которой лежит на прямой Следовательно, интегральные поверхности — поверхности вращения с осью вращения I (ср. пример 1).

Пример 9. Функция называется положительной однородной степени а, если при любом и при любом справедливо тождество

Дифференцируя это тождество по и полагая затем получаем тождество Эйлера для положительно

однородных функций:

Примеры таких функций: — однородный полином степени а (при целом ).

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными (12). Из характеристической системы

находим

где С — произвольные постоянные. Пусть тогда независимые первые интегралы можно выбрать в виде

и всякое решение уравнения (14) определяется уравнением

Выражая и через остальные переменные, получаем

Отсюда следует, что любое решение уравнения (14) является положительно однородной функцией степени а; этот факт доказан при но нетрудно проверить, что он верен при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление